我不會這幾題，可以幫幫我解微積分??

Question

1. 若1小於等於x小於等於4，求函數曲線 y=x^2 與 y=x^1/2 之間的區域面積

2. 積0到6 x/(4x+1)^1/2 dx ??
3. 積(25-x^2)^1/2 ??
4. 求f(x)=ln(x^2+2*x+3)的相對極值 ??

Answer 1

 1. 面積=∫14 (x²-√x) dx= [x³/3-(2/3)x³/²]14 =(64/3 - 16/3) - (1/3 - 2/3)=49/32. 令u=√(4x+1), 則u²=4x+1, u²-1=4x, x=( u²-1)/4, dx=(u/2)dux=0 => u=1, x=6 => u=5∫06 x/√(4x+1) dx=∫15 ((u²-1)/4)/u) (u/2)du=∫15 (u²-1)/8 du=[u³/24-u/8]15 =(125/24 - 5/8) - (1/24 - 1/8)=14/3 3. ∫√(25-x²) dx法一：公式∫√(a²-u²) du = (u/2) √(a²-u²) + (a²/2)sin-1(u/a) + C法二：令x=5sinθ則dx=5cosθdθ, sinθ=x/5,θ=sin-1(x/5), cosθ=(√(25-x²))/5∫√(25-x²) dx=∫(5cosθ)(5cosθ) dθ=25∫cos²θdθ　(註)=25((sinθcosθ)/2 + θ/2) + C=(x/2)√(25-x²) + (25/2)sin-1(x/5) + C註:∫cosn udu有公式,或者用分部積分∫cos²θdθ=sinθcosθ-∫sinθ(-sinθ)dθ= sinθcosθ+∫sin²θdθ =sinθcosθ+∫(1-cos²θ)dθ= sinθcosθ+ θ-∫cos²θdθ∴2∫cos²θdθ= sinθcosθ+ θ ∫cos²θdθ= (sinθcosθ)/2 + θ/24. f(x)=ln(x²+2x+3)f'(x)=(2x+2)/(x²+2x+3)f'(x)=0 => 2x+2=0, x=-1∵ x²+2x+3 > 0∴當x<-1時, f'(x)<0, f(x)為遞減　當x>-1時, f'(x)>0, f(x)為遞增故x=-1時, f(x)有極小值 f(-1)=ln((-1)²+2(-1)+3)=ln2