Como provar que o Conjunto de Cantor é compacto, não-enumerável e tem medida zero ?

Answer 1

Acho q no livro do elon de espaços métricos tem a solução.
de uma olhada.

neste link tem q o conjunto de cantor é compacto
http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/PDF/cantor.pdf

O conjunto de cantor não é enumerável pois tem o mesmo número de pontos que o seguimento [0,1]

Answer 2

O Conjunto de Cantor NÃO é enumerável. De, fato, é compacto e tem medida (de Lebesgue) zero. A demonstração destes fatos está em qualquer bom livro de Análise Matemática, como o do Elon, em Portuguê, ou o do Bartle, em Inglês.
Mas é fácil vermos que é compacto. A definição do conjunto de Cantor, aquela remoção dos terços do meio partido-se de [0, 1], implica que ele seja dado pela interseccao de uma familia (no caso enumeravel) de conjuntos fechados. Como a intersecção de qualquer família de conjuntos fechados de um espaço métrico é fechada, segue-se que o c. de Cantor é fechado. Além disso, ele é limitado, póis está contido em [0, 1]. 'Pelp teorema de Heine Borel, temos então que o conjunto de Cantor é Compacto.
Ele tem medida de zero porque, aos remover os gradativamente os terços dos intervalos, retiramos um comprimento total que é dado pelo limite de uma série geométrica a qual soma 1. Logo, a medida de Lebesgue é nula;

O conjunto de Cantor é assim fechado e tem interior vazio, logo é um conjunto "magro" na classificação de Baire

Mas ele não é enumerável;.A prova disso baseiase em numeros ordinais e cardinais. Sugiro consultar um bom livro.

Se precisar de alguma ajuda, me mande uma mensagem (não que eu saiba muita matemática....)