拉氏轉換如何求解

Question

7. 試求 F(s) = (4s - 8)／(s2 -16) 及 G(s) = 1／s(s-4)2 之反轉換

sol：

　　F(s) = (4s - 8)／(s2 -16) = 1／(s - 4) + 3／(s + 4)

　　→ ƒ(t) = e4t + 3e - 4t #
請問1/(s-4)+3/(s+4) 的分子部分是如何求出的?我看書有部份分式法、摺積法等等
可是我太久沒讀書了，這些早就忘光了。連微分、積分也忘的差不多了@@
,所以我只是背公式套進去而已。可否請大大寫詳細一點，謝謝^^
79年二技的電路學題目:
V(S)=I(S)Z(S)=S+3/(S平方+3S+2)=S+3/(S+1)(S+2)=2/(S+1) - 1/(S+2)
請問2/(S+1) - 1/(S+2)的分子2和-1是如何求出的?

順便介紹自修電路學的關工數那一部的的書，謝謝

可否請大大介紹一本電路學的書,拜託^^

Answer 1

　　版主您好，算 Laplace 反轉換有很多種方式，可以利用摺積法、Laplace 轉換的性質，或是部份分式法，就是直接將頻域函數拆成基本項，只要把拆相後的係數算出就行了。　　算係數的方法可以用中學的〝係數比一比〞，就是另外一位網友提供的方法，我則提供一個在電路學學到的方法，您比較看看，那我就直接算這兩題給您看囉！*1. 試求 F(s) = ( 4s - 8 )／( s2 -16 ) 及 G(s) = 1／[ s( s - 4 )2 ] 之反轉換。sol：　　F(s) = ( 4s - 8 )／( s2 - 16 )　　　　= 4( s - 2 )／[ ( s - 4 )( s + 4 ) ]　　如上所看到，分母有兩個實根 4、- 4，可以直接拆成兩項。　　→ F(s) = k1／( s - 4 ) + k2／( s + 4 )　　再來就算 k1、k2 兩個係數。　　k1 = [ 4( s - 2 )／( s + 4 ) ]s = 4　　　 = 8／8　　　 = 1　　k2 = [ 4( s - 2 )／( s - 4 ) ]s = - 4　　　 = ( - 24 )／( - 8 )　　　 = 3　　→ F(s) = 1／( s - 4 ) + 3／( s + 4 )　　ƒ(t) = £-1{ F(s) }　　→ ƒ(t) = e4t + 3e - 4t , t ≥ 0 #*　　G(s) = 1／[ s( s - 4 )2 ]　　請注意到，分母有三個根，即是 0、4、4，有二重根 4，這樣要拆成三項喔！　　→ G(s) = k1／s + h1／( s - 4 ) + h2／( s - 4 )2　　再來就算 k1、h1、h2 三個係數。　　k1 = [ 1／( s - 4 )2 ]s = 0　　　 = 1／16　　重根部分的係數，由高次相開始算。　　h2 = [ ( 1／0! )( 1／s ) ]s = 4　　　 = 1／4　　h1 = [ ( 1／1! )( d／ds )( 1／s ) ]s = 4　　　 = [ - 1／s2 ]s = 4　　　 = - 1／16　　→ G(s) = ( 1／16 )( 1／s ) - ( 1／16 )[ 1／( s - 4 ) ] + ( 1／4 )[ 1／( s - 4 )2 ]　　g(t) = £-1{ G(s) }　　→ g(t) = ( 1／16 ) - ( 1／16 )e4t + ( 1／4 )te4t , t ≥ 0 #*　　版主，因為礙於語法只能打橫書，所以您看起來可能會有點霧颯颯，如果可以的話請您用直書把上面算式寫下來，會看的比較清楚。*3. V(s) = ( s + 3 )／( s2 + 3s + 2 )sol：　　V(s) = ( s + 3 )／( s2 + 3s + 2 )　　　　= ( s + 3 )／[ ( s + 1 )( s + 2 ) ]　　經過第一題的練習，可以知道這題分母有兩個實根 - 1、- 2，所以可以直接拆成兩項。　　→ V(s) = k1／( s + 1 ) + k2／( s + 2 )　　算 k1、k2 兩個係數吧。　　k1 = [ ( s + 3 )／( s + 2 ) ]s = - 1　　　 = 2／1　　　 = 2　　k2 = [ ( s + 3 )／( s + 1 ) ]s = - 2　　　 = 1／( - 1 )　　　 = - 1　　→ V(s) = 2／( s + 1 ) - 1／( s + 2 )　　υ(t) = £-1{ V(s) }　　→ υ(t) = 2e - t - e - 2t ( volt ) , t ≥ 0 #*　　算反轉換有很多種算法，當然上面兩題也可以用摺積法反算回去，不過對於微積分有先天恐懼的同學( 如我 ...... >_< )，當然是能把頻域函數拆成基本項就拆，不得已才用到其他需要微積分的方法。　　不過也有用部份分式法很難拆成基本項的題目，此類題目在所多有，不過常見於研究所考試，二技、插大比較少見。　　希望以上解答過程對您有幫助。

2006-07-26 22:05:14 補充：
　　版主您好，我們都看原文書，有一本不錯，Fundamentals of Electric Circuits，作者是 Charles K. Alexander 與 Matthew N.O. Sadiku，例題都很簡單、清楚，也有中譯本，中譯本就叫做「電路學」，美商 McGraw Hill 書局出版，他寫的 Laplace 轉換也很容易看的懂喔！

Answer 2

分母部份要看國中數學(因式分解、十字交叉、配方法)，分子的話可能要翻翻電路學了～

Answer 3

謝謝兩位的發表，謝謝龍昊這麼用心的打＾＾，我可能要去補習班上一下課比較容易懂囉>"<,真的７,８年沒唸書囉＞”＜,都忘光囉＞”＜

Answer 4

(4s- 8)/(s2-16)= (4s-8)/((s- 4)(s+4))設(4s- 8)/((s- 4)(s+4))=A/(s-4) + B/(s+4)4s- 8 = A(s+4) + B(s- 4)隨便找兩個不一樣的s代進去就可以解出A,B看起來s= - 4和4代入會最容易4(- 4)- 8= A(- 4+4) + B(- 4 - 4)-24= - 8BB=34(4)- 8= A(4+4) + B(4- 4)8 = 8AA=11/s(s-4)2 =A/s + B/(s-4) + C/(s-4)2 1=A(s-4)2 + B(s)(s-4) + C(s)s=0代入得1=16AA= 1/16s=4代入得1=4CC= 1/4s=2 代入得 1= 4A - 4B + 2C = 1/4 - 4B + 1/21 = 3/4 - 4B4B = -1/4B = -1/16(s+3)/((s+1)(s+2))= A/(s+1) + B/(s+2)s+3 = A(s+2) + B(s+1)s= - 1代入得 2 = A即 A = 2s= - 2 代入得 1 = -B 即 B= -1