工數 問題 請幫解 台大90年英文第一題pdf檔

Question

http://www.lib.ntu.edu.tw/exam/graduate/90/90447-1.htm
第一題實在是看不懂中文意思 可否請教一下會的人說一下意思 仔細 教一下
我上課聽 如下
yA(X)=e^-2x (cos3x+2sin3x)=> m1=-2+3i , m2=-2-3i==> d^2y/dx^2 + 4 dy/dx +3y=0
a=4 正確 ,, y(0)=A=1
yB(X)=-3e^x + 2e^3x = > m1=1 , m2= 3 ====>-3e^x-6e^-3x
b=3 正確,, dy/dx(0)=B=3
為什麼答案中間過程中a=4 b=3 如題目的話 a 和b函數不都在一個方程式內幹嘛分2個方程式 求 又怎麼看出他是 a 和 b的正確值

那a=4 和b=3要怎嚜看出來呢

1.還有阿 邊界值 帶入 算錯的方程式
yA(x)=e-2x(cos3x+2sin3x) yA(0)=1
dy/dxB(x)=-3ex+6e3x yB(0)=3
A=1 B=3 那a=4 和b=3要怎嚜看出來呢

2.為什麼在最後解題 帶入正確的a,b值後得到新
y''+4y'+3y=0 m1=-1 , -3得正確方程式 y=c1e^-x+c2e^-3x 為什麼要帶入yA(0)=1,yB(0)=3

==那數值不是錯誤方程式=如下
yA(x)=e-2x(cos3x+2sin3x)===得到 yA(0)=1
dy/dxB(x)=-3ex+6e3x ====得到 yB(0)=3
==
怎麼會跟正確的 y=c1e^-x+c2e^-3x 相等
y(0)=c1+c2=1
dydx(0)=-c1-3c2=3 2個不同的方程式為什麼會相等呢

Answer 1

兩個學生解相同的初值問題y''+ay'+by=0，給予之初值條件為y(0)=A和y'(0)=B。一個學生使用了錯的常數b和B，得到的解為yA(x)=e-2x(cos3x+2sin3x)。另一個學生用了錯的常數a和A，得到的解為yB(x)=-3ex+2e3x。求出正確的常數a，b，A和B並解出這個初值問題。如你所說 yA(x)=e-2x(cos3x+2sin3x)=> m1=-2+3i , m2=-2-3i==> d2y/dx2 + 4 dy/dx +13y=0a=4 正確 , y(0)=A=1這是因為此時這個學生用錯b和B,所以只有a=4和y(0)=A=1正確, b和B不可取.另一個學生yB(x)=-3ex+2e3x = > m1=1 , m2= 3 因為弄錯a和A,所以雖然求出d2y/dx2 - 4 dy/dx +3y=0但只能取b=3和y'(0)=B=-3+6=3最後解y''+4y'+3y=0,初值y(0)=1和y'(0)=3m1=-1 , m2= -3y=c1e-x+c2e-3xy(0)=1 => c1+c2=1y'(0)=3 => -c1-3c2=3得c1=3, c2= - 2所以y=3e-x-2e-3x為滿足正確初值之解.

2006-07-20 19:22:16 補充：
一樣一樣來,看第一個人就好,他得到的解是yA(x)=e^-2x (cos3x+2sin3x),我們得到他原來的微分方程為 d^2y/dx^2+4dy/dx+13y=0,換句話說,他是去解y''+4y'+13y=0這個方程式,才得到yA(x)=e^-2x (cos3x+2sin3x)這個解的.題目說原方程式為y''+ay'+by=0,我們和 y''+4y'+13y=0比較,就知到a=4和 b=13,但是題目又說他b值其實看錯了,所以b一定不是13,但a值沒看錯呀!我們因此確定,原方程式為y''+4y'+by =0,a已經確定等於4,但b還沒確定,這樣第一步能瞭解嗎?

2006-07-20 19:33:09 補充：
再來看第二個人,他得到的解是yB(x)=-3e^x+2e^3x ,我們得到他原來的方程式為y''-4y'+3y=0,換句話說,他是看錯題目去解y''-4y'+3y=0 這個方程式,才得到yB(x)=-3e^x+2e^3x這個解.題目說原方程式為y''+ay'+by=0,我們和y''-4y'+3y=0比較,就知到 a=-4 和 b=3, 但是題目又說他的a值是錯的,所以a一定不是-4(由上一步驟其實我們已經知道是4),但他b值沒看錯,我們因此確定b=3,原方程式應為 y''+ay'+3y=0,這樣第二步可瞭解嗎?

2006-07-20 19:38:34 補充：
這樣終於知道正確的原方程式為y''+4y'+3y=0

2006-07-21 00:36:25 補充：
因為題目說y(0)=A沒有看錯,第一位學生雖然解的是y''+4y'+13y=0這個看錯b的方程式,在他解完的時後得到解為y(x)=e^-2x (c1 cos3x+c2 sin3x),解完的時後他不是要代入initial value嗎?也就是他看到y(0)=1和y'(0)=?,所以他代入x=0得到y(0)=c1cos0=c1,在考試時題目是y(0)=1,並且他沒看錯,所以他求出c1=1,當然他也代入y'(0)=?求出c2=2,但y'(0)=?是看錯的,這部分我就不實際做了,他最後寫在考卷上的答案是y(x)=e^-2x (cos3x+2sin3x)

2006-07-21 00:40:30 補充：
題目告訴我們他答案y(x)=e^-2x (cos3x+2sin3x),y(0)=A沒看錯要我們反推出A,當然y(0)代進去會是對的,因為他沒看錯A才算出cos3x的係數1的這種答案.
還有問題可再來.

Answer 2

我還沒上到赴立略去 @@!
我只是有個疑問
給一個ODE帶入錯誤的B,b 為什麼
它的方程式yA(X)=e^-2x (cos3x+2sin3x)還能找出小a
它的方程式因該是帶入的b有關係吧

另一帶錯A,a 又能找出
正確小b
陳立老師 好像適用待定係數法

2006-07-20 17:16:43 補充：
那小 a 和 b該怎嚜求呢

2006-07-20 23:17:12 補充：
我了解意思了 可否在請問邊界值 您解答的 那部份 可以在 說更明確點嗎
小a跟b我都 明白了

2006-07-20 23:21:49 補充：
小a和小b 了解了
但是y(0)=A和y'(0)=B
為什麼y(0)=A用在
yA(x)=e^-2x (cos3x+2sin3x)而不用在yB(x)=-3e^x+2e^3x

反之y'(0)=B 用在
yB(x)=-3e^x+2e^3x
而不用在yA(x)=e^-2x (cos3x+2sin3x)

2006-07-22 10:19:26 補充：
感謝您在刺幫忙唷 我在研究研究摟~

Answer 3

陳立老師將此題改編的..
他是以拉氏轉換算的....
您可以參考看看...

用「Laplace transform」撮合基可積慢＆麥克積快成為男女主角～
http://www.getgoal.com.tw/thrust/conjure-index.htm

工數魔法師 - 陳立

2006-07-20 15:20:45 補充：
因為一個ODE帶入錯誤的B,b ..但是A,a是正確的..
同樣的..
因為一個ODE帶入錯誤的A,a ..而B,b是正確的..
陳立老師是用「Laplace transform」.............