幫解工程數學

Question

1.微分方程 y\"+2.2y\'+1.17y=0
（a）y之通解？ （b）若初始條件：y(0)=2 , y\'(0)=-2.6 ,其特解為何？
2.聯立方程組AX＝B如下：
3x-2y-z=2
x-y-z=0
x+2y+3z=4
（a）A表係數矩陣，試求其反矩陣A¯¹ ？ （b）由A¯¹ 求 x,y,z未知數之值？
3. a,b c為向量，a=2i-6j-6k , b=2i+3j , c=5i+3j+2k
（a) a*(b˙c)為何？ （b) a*b*c為何 ?
4.半圓面積，其半徑2公分
（a）定幾何中心位置？ （b）以積分法求對底邊（直徑）之面積慣性矩多少？
5.解微分方程式：x²y\"-5xy\'+8y=2ln(x)

Answer 1

1. 微分方程 y'' + 2.2y' + 1.17y = 0　( a ) y 之通解　( b ) 若初始條件：y(0) = 2、y'(0) = - 2.6，其特解為何？sol：　　( a )　　特徵方程式( characteristic equation )：r2 + 2.2r + 1.17 = 0　　→ ( r + 0.9 )( r + 1.3 ) = 0　　→ r = - 0.9 , - 1.3 ～ 相異實根　　通解：y = c1e - 0.9x + c2e - 1.3x #　　( b )　　代入初始條件 x = 0 , y = 2 得：　　c1 + c2 = 2　　y' = - 0.9c1e - 0.9x - 1.3c2e - 1.3x　　代入初始條件 x = 0 , y' = - 2.6 得：　　- 0.9c1 - 1.3c2 = - 2.6　　聯立 c1、c2 可解得：　　c1 = 0 , c2 = 2　　特解：y = 2e - 1.3x #*2. 解聯立方程組 AX = B 如下：　3x - 2y - 1z = 2　1x - 1y - 1z = 0　x + 2y + 3z = 4　( a ) A 表係數矩陣，式求其反矩陣 A - 1？　( b ) 由 A - 1 求 x、y、z 未知數之值？　這題我只寫出答案，因為矩陣要打很多字，我怕超過字數限制喔！sol：　　( a )　　　　　　　　┌　3　- 2　- 1　┐　　係數矩陣 A = │　1　- 1　- 1　│　　　　　　　　└　1　  2　   3　┘　　　　　　　　┌　- 0.5　2　  0.5　┐　　反矩陣 A - 1 = │　- 2　   5　    1　 │　　　　　　　　└　1.5　- 4　- 0.5　┘ #　　( b )　　┌　x　┐  ┌　1　┐　　│　y　│=│　0　│　　└　z　┘  └　1　 ┘ #*3. a、b、c 為向量，a = 2i - 6j - 6k、b = 2i + 3j、c = 5i + 3j + 2k　( a ) a × ( b‧c ) 為何？　( b ) a × b × c 為何？sol：　　( a )　　這題目應該寫錯，b‧c 是純量，向量不能再跟純量做叉積( cross product )喔！　　( b )　　求向量三重積( vector triple product )　　a × b × c = b( a‧c ) - c( a‧b )　　　　　　= ( 2i + 3j )( 10 - 18 - 12 ) - ( 5i + 3j + 2k )( 4 - 18 )　　　　　　= ( - 40i - 60j ) - ( - 70i - 42j - 28k ) 　　　　　　= 30i - 18j + 28k　　→ a × b × c = 30i - 18j + 28k #*4. 半圓面積，其半徑為兩公分　( a ) 定幾何中心位置？　( b ) 以積分法求對底邊( 直徑 )之面積慣性矩多少？　抱歉，這好像是微積分的題目，我微積分不是很熟，抱歉不能幫您解了。*5. 解微分方程式：x2y'' - 5xy' + 8y = 2 ln│x│sol：　　令 x = et → t = ln│x│　　y' = dy／dx = ( dy／dt )( dt／dx )　　　= ( 1／x )( dy／dt )　　y'' = d2y／dx2 = ( d／dx )[ ( 1／x )( dy／dt ) ]　　　= ( 1／x2 )( d2y／dt2 ) - ( 1／x2 )( dy／dt )　　將 y'、y''、t = ln│x│ 代入原 Cauchy - Euler equation 得：　　( d2y／dt2 ) - 6( dy／dt ) + 8y = 2t　　特徵方程式( characteristic equation )：r2 - 6r + 8 = 0　　→ ( r - 2 )( r - 4 ) = 0　　→ r = 2 , 4 ～ 相異實根　　yh = c1e2t + c2e4t　　   = c1x2 + c2x4 ～ homogenous solution　　利用未定係數法( method of undetermined coefficients )求 particular solution　　令 yp = At + B　　→ dyp／dt = A　　　 d2yp／dt2 = 0　　將 yp、dyp／dt、d2yp／dt2 代入 ( d2yp／dt2 ) - 6( dyp／dt ) + 8yp = 2t　　→ - 6A + 8At + 8B = 2t　　比較係數得：A = 1／4　　　　　　　　8B - 6A = 0 → B = ( 3／4 )A = 3／16　　yp = ( 1／4 )t + ( 3／16 )　　　 = ( 1／4 ) ln│x│+ ( 3／16 ) ～ particular solution　　general solution：y = yh + yp　　→ y = c1x2 + c2x4 + ( 1／4 ) ln│x│+ ( 3／16 ) #*　　希望以上解題能幫助您。