奧林匹克數學

Question

這是奧林匹克小學四年級的競賽數學問題
請問有4人互相傳球,由甲發球,並作為第一次的傳球,
經過5次傳球後,求仍然回到甲的手中.問共有多少種求法?

但是解答答案卻寫3*3*3*2*1+3*2=60種
我就是看不懂為什麼會這樣?
麻煩你ㄌ!~解釋一下可以嗎?

Answer 1

嘿！金迷小邪：安安

暑假前因功課忙一直沒有向你問好，對不起啦！

這一題題目我三月份有學過

本來想在意見欄發表意見

因有字數限制

所以我才用回答ㄉ

我不是在和你搶點數

請 雅芾芾~~^o^ 把點數給 金迷小邪

我只是想和老師研究這個題目，謝謝！

2006-07-11 23:53:34 補充：
先說明一下：

如果每一次傳球都任選其它三人中的一人進行傳球

即每次傳球方法都有3種可能

由乘法原理可得知第n次的傳球方法有：

3×3×…×3＝3的n(種)
------n個----


解法1：

設當n次傳球後，球又回到甲手中的傳球方法有 a的n種

想像一下前(n－1)次傳球，它們可分為兩類：

一類是：

傳(n－1)次恰好傳到甲手中，這有a的n－1種傳法

它們不符合要求，因為這樣第n次無法再把球傳給甲；

另一類是：

第(n－1)次傳球，球不在甲手中

傳n次持球人再將球傳給甲，有a的n種傳法

根據加法原理，有 a的n＋a的n－1＝3×3×…×3＝3的n次－1
(n－1)個3

由於甲是發球者，第一次傳球後

球又回到甲手中的傳球方法是不存在的

所以a的1次＝0

利用遞推關係可得到：

a的2次 ＝ 3 － a的1次 ＝ 3 － 0 ＝ 3

a的3次 ＝ 3的二次方 － a的2次 ＝ 9 － 3 ＝ 6

a的4次 ＝ 3的三次方 － a的3次 ＝ 27 － 6 ＝ 21

a的5次 ＝ 3的四次方 － a的4次 ＝ 81 － 21 ＝ 60

故經過5次傳球後，球仍回甲手中的傳球方法有60種。

2006-07-12 00:24:11 補充：
解法2：可以利用列表法求解我們可以這樣想，第n次傳球後球不在甲手中的傳球方法，第(n＋1)次傳球後，球就可以回到甲手中 所以此題只需求出第四次傳球後球不在甲手中的傳法共有多少種。

2006-07-12 00:30:26 補充：
第n次傳球 傳球的方法 球在甲手中的傳球方法 球不在甲手中的傳球方法

2006-07-12 00:36:10 補充：
1-------------------3 ----------------------------0-----------------------3 2 -------------------9 ---------------------------3 -----------------------6

2006-07-12 00:37:58 補充：
3 -------------------27 --------------------------6 -----------------------21 4 -------------------81 --------------------------21 ----------------------60

2006-07-12 00:39:45 補充：
5 -------------------243---------------------【 60 】------------------183從上表可看出經過第5次傳球後，球仍回甲手中的傳球方法有60種。以上兩種解詳細嗎？請多多指教~

Answer 2

提供另一個解法：傳球的狀況可以寫成這樣甲○○○○甲每一球都有三種傳法，就是丟給除了自己的另外3個人，所以本來的傳法應該有34種。不過會有一個問題就是第四次傳不能給甲，所以要將第四次給甲的情況扣除。第四次給甲的方法：甲○○○甲以第二次傳球來分，若第二次傳球不是給甲，方法是3*2*2種，若第二次給甲，方法是3*1*3種，總共21種。原來的81種扣除第四次傳給甲的21種就是60種了

Answer 3

仁仁：安
這一題你解得很詳細，我就是懶得打字，所以點數應該給你。我比較在意解答率，所以我會將回答刪除。
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