工程數學的解疑?

Question

http://www.lib.cycu.edu.tw/exams_new/transfer_3rd/tce/94/t3ce9402.pdf

前面4題 尋求 講解@@.....
請熟悉工程數學的大大協助~

Answer 1

1. 已知一階線性微分方程式 y' + ƒ(x)y = g(x) 的解為 e -∫ƒ(x)dx[∫e∫ƒ(x)g(x)dx + c ]，試解 ( x + 1 )y' - y = ( x + 1 )3，y(0) = 1sol：　　太好了，怎麼做都跟我們講了，把原式移相一下得：　　y' - [ 1／( x + 1 ) ]y = ( x + 1 )2　　→ ƒ(x) = - 1／( x + 1 )，g(x) = ( x + 1 )2　　將 ƒ(x)、g(x) 代入即可！　　e - ∫ƒ(x)dx = e∫[ 1／( x + 1 ) ]dx = eln│x + 1│= x + 1　　e∫ƒ(x)dx = e∫[ - 1／( x + 1 ) ]dx = e - ln│x + 1│= 1／( x + 1 )　　y = ( x + 1 ){∫[ 1／( x + 1 ) ]( x + 1 )2dx + c }　　   = ( x + 1 )( x + x2／2 + c )　　將 y(0) = 1 代入 y = ( x + 1 )( x + x2／2 + c )　　→ c = 1　　→ y = ( x + 1 )( x + x2／2 + 1 ) #2. 依下列步驟解微分方程式 y'' - y = x + 1，y(0) = 0，y'(0) = 1　(1) 令 y = erx 求 y'' - y = 0 之齊性方程式 ycsol：　　令 y = erx 代入 y'' - y = 0 可得：r2 - 1 = 0 ~ 齊性方程式　　→ ( r - 1 )( r + 1 ) = 0　　→ r = 1 , - 1 ~ 相異實根　　→ yc = c1ex + c2e-x #　(2) 令 yp = Ax + B 求特積分 ypsol：　　令 yp = Ax + B 代入 yp'' - yp = x + 1　　→ - Ax - B = x + 1　　→ A = - 1 , B = - 1　　→ yp = - x - 1 #　(3) y = yc + yp，代入 y(0) = 0，y'(0) = 1，求得特解sol：　　y = yc + yp　　   = c1ex + c2e-x - x - 1　　將 y(0) = 0 代入 y = c1ex + c2e-x - x - 1　　→ c1 + c2 = 1　　y' = c1ex - c2e-x - 1　　將 y'(0) = 1 代入 y' = c1ex - c2e-x - 1　　→ c1 - c2 = 2　　→ c1 = 3／2 , c2 = - 1／2　　→ y = ( 3／2 )ex - ( 1／2 )e-x - x - 1 #3. 令 y = xm，解微分方程式 x2y'' - 3xy' + 3y = 0sol：　　標準的 Cauchy - Euler 方程式，用標準的做法解：　　令 y = xm　　→ y' = m x m - 1　　　 y'' = m( m - 1 ) x m - 2　　將 y、y'、y'' 代入 x2y'' - 3xy' + 3y = 0　　→ x2[ m( m - 1 ) x m - 2 ] - 3x( m x m - 1 ) + 3xm = 0　　→ m( m - 1 )xm - 3mxm + 3xm = 0　　→ m( m - 1 ) - 3m + 3 = 0　　→ m2 - 4m + 3 = 0　　→ ( m - 1 )( m - 3 ) = 0　　→ m = 1 , 3 ~ 相異實根　　→ y = c1x + c2x3 #4. 麻煩看一下國中或高中數學課本，把點斜式代進去算就好了，一定要自己去算喔！　　希望以上回答能幫助您。

Answer 2

第一題：把欲解的方程式變成上面那個一階線性方程式的型態，就應該知道怎麼做了。
第二題：照著他告訴你的作法作就可以了
第三題：東西代一代用Frobenius Method
第四題：知道點和方向就用點斜式寫出直線方程式