Como demonstrar que entre dois números reais existe um racional.?

Answer 1

é bem simples.
Se vc truncar um número real, ele será um racional

Chamo de truncar, parar de escrever as casas decimais.

Peguemos o PI (irracional) = 3,14159.....

parei de escrevê-lo no 9, só que 3,14159 (que não é PI, mas sim uma aproximação) é 314159/100000 que é uma fração, portanto racional.

Com dois irracionais (ou reais), é só escrever o maior até as casas decimais pararem de se repetir. Truncando nesse ponto, temos um racional entre quaisquer dois reais

Answer 2

Numa visão macro:
Conj. Natural é todo número inteiro positivo {0, 1, 2, 3,...};
Conj. Inteiro é todo número natural mais números negativos {-1, -2, -3,...};
Conj. Racional é todo numero que é uma fração entre dois inteiros;
Conj. Irracional é raiz ou logaritmo que não pertence ao conj. dos números inteiros e também contém PI.
Conj. Reais contém conj. de números inteiros, racional e irracional.
Como um numero racional é uma fração entre dois inteiros poderia escolher dois inteiros e dividir.
Exemplo: 3/2=2.5 = {0, 1, 2,2.5,3,...}. Nesse caso 2.5 é um racional que existe entre dois inteiros e todos pertencem ao conj. de números reais.
Espero que tenha ajudado.
Valeu!!!