有關兩直線運動物體的距離問題?

Question

起問為何兩直線運動的物體當兩者相距最近即是當兩者速度相等時? 這個問題再我以前想題目時都沒深入思考過, 可否請大家提供看法, 讓我應証我的想法是否正確. 麻煩大家囉 (越仔細解說越好歐)

抱歉 題目不夠清楚 我現在就把題目做一個說明
**一步行者以6.0m/s之速率沿直線公路追趕一輛公車,當他再距離公車25公尺處時公車以1.0m/s之加速度駛去,求(1)作此步行者之x-t圖 (2)此人可否趕上公車? (3)此人與公車之最近距離若干?
我的問題即在第3小題, 以我之前所學要解這題的方法是當兩者相距最近即是當兩者速度相等時, 即
V車=dx車/dt=t , 當V車=V人, t=6 ,此時兩者相距最近
我想知道大家是怎麼想的, 和為什麼要這樣解? 一定都成立嗎?

Answer 1

沒這回事吧！
如果一個向東，一個向西，則兩者交會時距離為0，不是最近了嗎？但速度顯然不同，事實上速率也可不同，是為反例。
但如果你的意思是：除非速度相同，不然一定時間之後，兩者相距必然越來越遠，那就沒錯。

2006-06-24 06:36:40 補充：

圖片參考：http://home.pchome.com.tw/net/cloudyma/qid1206062305100.JPG
以上是我用Graphmatica畫出來的車與人的x(距離)-t(時間)圖，橫座標是時間(秒)，縱座標是行走距離(公尺)(不是兩者距離唷！)。藍線是車，紫線是人。大致看得出來，第6秒前兩者越來越近，第6秒時兩者距離7公尺，是最近距離，第6秒後就距離越來越遠了，所以他趕不上公車。計算是這樣，公式x=V0t+(1/2)at2已知數據，V0車=0，a車=1；V0人=6，a人=0故x車=25+(1/2)t2，x人=6t，兩者相距=x車-x人=25+(1/2)t2-6t=(1/2)(t2-12t+36)+7=(1/2)(t-6)2+7，故第6秒時兩者距離7公尺，是最近距離。如果把問題更一般化，一開始距離p，V0車=0，a車=q；V0人=r，a人=0，則x車=p+(1/2)qt2，x人=rt兩者相距=p+(q/2)t2-rt=(q/2)[t2-(2rt/q)+(r/q)2]+p-[r2/(2q)]=(q/2)[t-(r/q)]2+(2pq-r2)/(2q)所以t=r/q時有最近距離，此時V車=V0車+a車t=0+q*(r/q)=r=V0人所以你的猜測是對的，兩者速率相同時，距離最近。

Answer 2

步行者 初速 6m/s 加速度0
公車 初速 0 加速度1m/s

一開始步行者移動速度較快，所以兩者距離會越來越接近
但是6秒鐘時公車會加速到兩者速度相同
6秒鐘之後的時間，公車就會比步行者快了，所以距離會越來越遠

因為 V=V0+at
V人=6
V車=1*t

而 S=V0*t+1/2at*t
S人6秒=6m/s*6s=36m
S車6秒=36*/2 + 25m(一開始的距離) = 43m
兩者差距7m 而且會越來越遠
此人趕不上公車

Answer 3

感謝你在發表沒多久就回覆,我的確是沒把問題交代清楚,而我後來有補充了一些,希望大家都能了解及一起思考,感謝大家歐