線積分的問題。懇請賜教。

Question

F=[xy, x^2y^2]，c為圓心在(0,0)，由(2,0)至(0,2)的1/4圓。
計算積分F(r)‧dr

請賜教。謝謝。

Answer 1

c為x2 + y2 = 4 由 (2,0) 至 (0,2) 的 1/4 圓令 x = 2 cosθ, y = 2 sinθ則 x2 + y2 = 4 cos2θ+ 4 sin2θ= 4 , 0 ≦θ≦ π/2∫F‧dR =∫c xy dx + x2y2 dy =∫c xy dx + ∫cx2y2 dy=∫0π/ 2 (2 cosθ)(2 sinθ)(- 2 sinθ) dθ + ∫0π/ 2 (2 cosθ)2(2 sinθ)2 (2 cosθ) dθ= ∫0π/ 2 (- 8 sin2θ cosθ ) dθ + ∫0π/ 2 (32 sin2θ cos3θ) dθ= - (8/3) sin3θ|0π/ 2 + 32∫0π/ 2 sin2θ(1 - sin2θ) cosθ dθ= - 8/3 + 32∫0π/ 2 (sin2θ- sin4θ) cosθ dθ= - 8/3 + 32((1/3) sin3θ- (1/5)sin5θ)|0π/ 2 = - 8/3 + 32(2/15)= - 40/15 + 64/15= 24/15= 8/5