高手進來看看吧_一題頗有深度的微積分題目

Question

數學解題高手們,請教一下一題積分的題目
int[exp-(ax^2+b/(x^2))] dx
積分範圍 from 0 to infinity
積分結果是1/2*(pi/a)^(1/2)*exp(-2(ab)^(1/2))
這題目已經困擾我好久了
麻煩各位高手們想想吧!

Answer 1

assume
I(a,b)=∫exp-[ax^2+b/(x^2)] dx from 0 to ∞
pI/pb=-∫{exp-[ax^2+b/(x^2)]}/(x^2) dx (note:p for partial)
assume x=[(b/a)^(1/2)]/y
dx=-[(b/a)^(1/2)]/(y^2) dy
pI/pb =-[(a/b)^(1/2)]*∫exp-[ay^2+b/(y^2)] dy
=-[(a/b)^(1/2)]*I
by separation of variable
lnI=-2[(ab)^(1/2)]+lnC
I(a,b)=C*exp-2[(ab)^(1/2)]
let I(a,0)=C=∫exp-(ax^2) dx from 0 to ∞
=1/2*[(pi/a)^(1/2)]
∴I(a,b)=∫exp-[ax^2+b/(x^2)] dx from 0 to ∞
=1/2*[(pi/a)^(1/2)]* exp-2[(ab)^(1/2)]

Answer 2

這個題目給你兩個方向
1.必須使用重積分技巧(卡式座標 ---> 極座標模式) ∫dx=∫rdrdθ 的技巧
2.
(1)r:0---> ∞ θ:0---> 2π
(2){∫dx=f(x)[x=0--->∞ ]}={∫dx=1/2*f(x)[x=-∞ --->∞ ]}
(3)此題積分若無上下限,則無解！

Answer 3

題目是積分exponential負的(a乘上X平方加上b除X平方),了解嗎?
也就是int[exp（-(ax^2+b/(x^2))）] dx

2006-06-16 18:49:32 補充：
首先感謝ㄚ木的支援,而我說明一下此題是有積分範圍的,從0到正無窮大,至於使用重積分也是要∫dxdy=∫rdrdθ,你的提示似乎不行喔!
我的想法是解答前面的1/2*(pi/a)^(1/2)是∫exp(-ax^2)dx from 0 to infinity,也就是令b=0,但重點是後面的exp(-2(ab)^(1/2)),不知道怎麼來的!
想想辦法吧!

help me...

2006-06-18 01:16:25 補充：
基本上這個積分是暇積分,並不是不定積分,故上下限是0到正無窮大,而且轉極座標我嘗試過,似乎也行不通,所以要想想辦法,我曾經嘗試過利用偏微分對a或者b造成一個新的積分並湊成原式,但好像不容易
呵呵,再再加油吧

Answer 4

題目不清楚
請問是
int[exp（-(ax^2+b/(x^2))）] dx嗎？

還是
int[exp（）-(ax^2+b/(x^2))] dx

2006-06-17 22:34:16 補充：
根據http://integrals.wolfram.com/index.jsp

計算 Exp[-(a x^2+b/(x^2))]
出來的結果和你的答案不一樣喔

是否題目有抄錯呢
我試著用極座標變換下去做
還是很難做，有無法積分的東西
所以，再繼續算看看吧~~