解ㄧ個數學題目 我想了很久

Question

1.直角△ABC中，∠A=90°，若線段AB=10cm，AC=24cm，AC中點M，BM中點N，AN的延長線交BC於P，求CP=？
2.承上題，四邊形CMNP的面積=？

將詳細的解題方法列出來，還有原因= =
我是數學白痴= =+

Answer 1

第一步驟：
先利用畢氏定理「直角△中，斜邊的平方＝二股平方和」求出 BC
【解】
直角 △ABC 中二股為AB＝10、AC＝24 → BC＝√（10^2+24^2）＝√676＝26。

第二步驟：
利用一個簡單的性質：
「在三角形中經過任一邊中點作一平行底邊的線必過另一邊中點」
如果學會的話，只要原題目加上一條輔助線：
【解】
「經過 M 點作一平行 AP 的直線交於 BC 於 Q 點」
則可以容易得知：
(1) 在 △CAP 中，因為 MQ 平行 AP 且 M 為中點，所以 Q 也是 CP 中點。
（換句話說 PQ＝QC）
(2) 在 △BQM 中，因為 PN 平行 QM 且 N 為中點，所以 P 也是 BQ 中點。
（換句話說 BP＝PQ）
(3) 所以由 (1)、(2)得知 BP＝PQ＝QC＝BC／3＝26／3 → CP ＝CQ＋QP＝52／3。

第三步驟：
利用面積比例性質「若二個三角形同高，則面積比＝底長比」。
【解】
(1) 直角 △ABC 的面積＝10 × 24／2＝120。
(2) 因為 CM＝MA（二等分）
→ △BCM＝△BAM＝△ABC／2＝120／2＝60。
(3) 連接 MP 。
(4) 因為 BP＝PQ＝QC（三等分）
→ △MCQ＝△MQP＝△MPB＝△BCM／3＝60／3＝20。
(5) 因為 BN＝NM（二等分）
→ △PNB＝△PNM＝△MPB／2＝20／2＝10。
(6) 所以 □CMNP＝△MCQ＋△MQP＋△PNM＝20＋20＋10＝50。

這樣應該夠詳細吧！（國中生應該也可以看懂^^）

Answer 2

(1) 解
由畢式定理，直角△ABC，AB=10, AC=24, ==> BC=26
由孟氏定理，因A,N,P三點共線， (BN/NM)*(MA/AC)*(CP/PB)=1
所以 (1/1)*(1/2)*(CP/BP)=1 ==> CP/ BP = 2 : 1
==> (CP/(26-CP))=2
==> 得 CP=52/3 cm

(2)解
利用等高△其底長之比等於面積之比，
令四邊形CMNP面積= x, △ABN面積=△AMN面積= y, △BNP面積= z
直角△ABC面積= 24*10/2=120
所以 x+2*y+z= 120
因△ABM面積=△BCM面積 ( AM=MC)
所以 2*y= x+z= 60 ; 得 y=30
△ABP面積 : △ACP面積 = BP : CP = 1 : 2
所以 (y+z):(y+x)= 1 : 2 ==> (30+z)/(30+x)=1/2 ==> x - 2*z = 30
解聯立方程
x + z = 60 ;
x - 2*z = 30
得 z= 10; x= 50; 故四邊形CMNP面積 = x = 50 平方公分