如何證明橢圓的光學性質

Question

一個數學問題....................................如何證明橢圓的光學性質...如何證明橢圓的光學性質..如何證明橢圓的光學性質......要詳解喔...(20點喔)

Answer 1

橢圓的光學性質：
由一焦點射出的光線，小到橢圓上任一點P，反射後都會經過另一焦點。
(即過P點之切線與兩焦半徑所夾的銳角相等)

【證明】
設橢圓：x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1
並取橢圓上一點P(x1,y1), 作通過P點的切線L: x1*x / a^2 + y1*y / b^2 = 1

L'是通過P且切線L垂直的法線，
則L': (y1 / b^2) x-(x1 / a^2) y = x1y1(1/b^2 - 1/a^2)
即L': (y1 / b^2) x-(x1 / a^2) y = (c^2 / a^2 b^2) x1y1
且法線與x軸交於一點D((c/a)^2 x1 , 0)

橢圓的焦半徑公式：PF1=| a-(c/a)x1 |, PF2=| a+(c/a)x1 |,
且DF1= | c-(c/a)^2 x1 | = c/a | a-(c/a)x1 |
DF2 = | c+(c/a)^2 x1 | = c/a | a+(c/a)x1 |
於是
DF1/DF2 = PF1/PF2
即法線L'為角F1PF2的角平分線，
由此得知過P點之切線與兩焦半徑所夾的銳角相等。

Answer 2

題意不清
我想你是在問球面近軸近似條件吧??
在x-y平面座標上
由 0 往 +x & +y & -y 方向畫一個圓
圓心為 c
半徑為 R
從 R 可以畫一直線到 x 軸做一直角三角型
開始導公式囉 :
y^2 + (x-R)^2 = R^2
y^2 = R^2 - (x-R)^2
y^2 = R^2 - (x^2-2xR+R^2)
y^2 = -x^2 + 2xR
x^2 - 2Rx + y^2

x= [2R+- (4R^2-4y^2)^1/2] / 2
2可以約分掉 , 變 R+- (2R^2-2y^2)^1/2

接下來, 橢圓的要來囉
一樣是這個圓, 但是在 c 旁邊可以取出焦點 F
而 F 跟 0 的距離就是 f

這時要 X x=R-(R- 1/2*y^2/R)
x=1/2* y^2/R
y^2 = 2Rx
y^2 = 4fx
2R=4f -> R=2f

希望你看的懂