數學一題，整數問題？20分...

Question

二次函數f(x)=ax^2+bx，若f(1)，f(2)都是整數，試證：對於任何整數n，f(n)均為整數

Answer 1

令f(1)=p，f(2)=q則a+b=p，4a+2b=q解聯立方程得a=(q-2p)/2，b=(4p-q)/2f(n)=an2+bn=[(q-2p)/2]*n2+[(4p-q)/2]*n=(qn2-2pn2+4pn-qn)/2=qn(n-1)/2+(2pn-pn2)(2pn-pn2)為整數，只要能證明qn(n-1)為偶數，就得證，但n(n-1)是連續兩整數乘積，必為偶數，則qn(n-1)也是偶數，得證。

Answer 2

f(1)=a+b ~N
f(2)=4a+2b ~N
因為整數作加減運算，也都還是整數
(f(2)-2*f(1))=2a ~N
(f(2)-3*f(1))=a-b ~N

從 2a~N
如果2a是偶數的話,表示 a是整數，所以b也是整數(因為a-b是整數)
那ax^2+bx~N for all x ~N
如果2a是奇數的話，表示a=k+0.5, k～N
因為a-b~N => b=t+0.5 t~N
f(x)=ax^2+bx=(k+0.5)x^2+(t+0.5)x
如果x是偶數的話 x=2y => f(x)=(k+0.5)*2*y*2*y+(t+0.5)*2*y ~N
如果x是奇數的話 x=2y+1
=> f(x)=(k+0.5)*(4y^2+4y+1)+(t+0.5)*(2y+1)
=4ky^2+4ky+k+2y^2+2y+2ty+y+t+0.5+0.5 ~N

所以f(n)~N