解不出來的常微分方程式式求解!!

Question

y\'\'＋4y\'＋4y＝e^-2x／x^3

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Answer 1

1. y'' + 4y' + 4y = e-2x／x3sol：　　特徵方程式( characteristic equation )：r2 + 4r + 4 = 0　　→ ( r + 2 )( r + 2 ) = 0 → r = - 2 , - 2 ～ 重根　　yh = ( c1 + c2x )e-2x　　　 = c1e-2x + c2xe-2x ～ 齊性解( homogeneous solution )　　以參數變異法( method of variation of parameters )求特解：　　令 yp = u1y1 + u2y2 = u1e-2x + u2xe-2x　　　 Q = e-2x／x3　　W( y1 , y2 ) =│　e-2x　  　xe-2x　　  │= e-4x　　　　　　　 │ - 2e-2x　e-2x - 2xe-2x　│　　u1 =∫( - y2Q／W )dx =∫{ [ - xe-2x‧( e-2x／x3 ) ]／e-4x }dx　　　 =∫( - 1／x2 )dx = 1／x　　u2 =∫( y1Q／W )dx =∫{ [ e-2x‧( e-2x／x3 ) ]／e-4x }dx　　　 =∫( 1／x2 )dx = - 1／2x　　yp = u1y1 + u2y2　　　 = ( e-2x／x ) - ( e-2x／2x ) = e-2x／2x ～ 特解( particular solution )　　通解( general solution )：y = yh + yp　　→ y = ( c1 + c2x )e-2x + ( e-2x／2x ) #