還蠻難的工數考題~~20點!

Question

１. x^2 y''－xy'＋y＝x ln x


２. 2(3x＋1)^2 y''＋21(3x＋1)y'＋18y＝0


要詳細計算過程，謝謝

Answer 1

1. x2y'' - xy' + y = x ln│x│sol：　　令 x = et → t = ln│x│　　y' = dy／dx = ( dy／dt )( dt／dx ) = ( 1／x )( dy／dt )　　y'' = d2y／dx2 = ( d／dx )[ ( 1／x )( dy／dt ) ]　　　= ( 1／x2 )( d2y／dt2 ) - ( 1／x2 )( dy／dt )　　將 y'、y''、x = et 、t = ln│x│代入原 Cauchy - Euler equation 得：　　( d2y／dt2 ) - 2( dy／dt ) + y = tet　　特徵方程式( characteristic equation )：r2 - 2r + 1 = 0　　→ ( r - 1 )( r - 1 ) = 0 → r = 1 , 1 ～ 重根　　yh = ( c1 + c2t )et　　　 = ( c1 + c2ln│x│)x ～ 齊性解( homogeneous solution )　　利用未定係數法( method of undetermined coefficients )求特解：　　原本要令 yp = ( At + B )et，但與齊性解比較有同形項 et 與 tet，故乘上〝t2〞修正！　　令 yp = t2( At + B )et　　　　  = ( At3 + Bt2 )et　　→ dyp／dt = ( 3At2 + 2Bt )et + ( At3 + Bt2 )et　　　 d2yp／dt2 = ( 6At + 2B )et + 2( 3At2 + 2Bt )et +( At3 + Bt2 )et　　將 yp、dyp／dt、d2yp／dt2 代入 ( d2yp／dt2 ) - 2( dyp／dt ) + yp = tet　　→ ( 6At + 2B )et = tet　　比較係數得：A = 1／6　,　B = 0　　→ yp = t3et／6　　　　  = x ln3│x│／6 ～ 特解( particular solution )　　通解：y = yh + yp　　→ y = ( c1 + c2ln│x│)x + x ln3│x│／6 #2. 2( 3x + 1 )2y'' +21( 3x + 1 )y' + 18y = 0sol：　　令 3x + 1 = et → t = ln│3x + 1│　　y' = dy／dx = ( dy／dt )( dt／dx ) = [ 3／( 3x + 1 ) ]( dy／dt )　　y'' = d2y／dx2 = ( d／dx ){ [ 3／( 3x + 1 ) ]( dy／dt ) }　　　= [ 9／( 3x + 1 )2 ]( d2y／dt2 ) - [ 9／( 3x + 1 )2 ]( dy／dt )　　將 y'、y'' 代入原方程式得：　　18( d2y／dt2 ) + 45( dy／dt ) + 18y = 0　　上式化為：d2y／dt2 + ( 5／2 )( dy／dt ) + y = 0　　特徵方程式( characteristic equation )：r2 + ( 5／2 )r + 1 = 0　　→ ( r + 1／2 )( r + 2 ) = 0 → r = - 1／2 , - 2 ～ 相異實根　　y = c1e(- 1／2 )t + c2e-2t　　→ y = c1( 3x + 1 )- 1／2 + c2( 3x + 1 )- 2 #

Answer 2

名稱係
科西尤拉等維線性
Legendre等維線性

Answer 3

這兩題都是等微線性ODE
1.令x = e^t , t = lnx
==> Dt(Dt-1)y - Dty + y = te^t
==> (Dt^2 - 2Dt + 1)y = te^t
==> [(Dt - 1)^2]y =te^t
==>yh = C1e^t + C2 te^t
==>yp = [ 1 / (Dt - 1)^2 ] * te^t
==>yp = e^t *[ 1 / (Dt + 1 - 1)^2 ] *t
==>yp = ( t^3 * e^t ) / 6
==> y = C1e^t + C2 te^t + ( t^3 * e^t ) / 6
換回原假設
==> y = C1x + C2 xlnx + [ (lnx)^3 * x ] / 6

第二題
令z = 3x+1
令z = e^t , t = lnz
==> 2Dt(Dt-1)y + 21Dty +18 y = 0
==> ( 2Dt^2 +19Dt +18 )y = 0