工程數學－柯西－尤拉方程式

Question

x^2y''＋xy'－4y＝x^3

高手幫幫忙

拜託拜託

Answer 1

2. Solve　x2y'' + xy' - 4y = x3sol：　　令 x = et → t = ln│x│　　y' = dy／dx = ( dy／dt )( dt／dx ) = ( 1／x )( dy／dt )　　y'' = d2y／dx2 = ( d／dx )[ ( 1／x )( dy／dt ) ]　　　= ( 1／x2 )( d2y／dt2 ) - ( 1／x2 )( dy／dt )　　將 y'、y''、x = et 代入原 Cauchy - Euler equation 得：　　( d2y／dt2 ) - 4y = e3t　　特徵方程式：r2 - 4 = 0　　→ ( r - 2 )( r + 2 ) = 0 → r = 2 , - 2 ～ 相異實根　　yh = c1e2t + c2e-2t　　　 = c1x2 + c2／x2 ～ 齊性解　　用未定係數法求特解：　　令 yp = Ae3t　　→ dyp／dt = 3Ae3t　,　d2yp／dt2 = 9Ae3t　　將 dyp／dt、d2yp／dt2 代入 ( d2yp／dt2 ) - 4yp = e3t　　→ - 3Ae3t = e3t　　比較係數得：A = - 1／3　　→ yp = ( - 1／3 )e3t　　　　  = - x3／3 ～ 特解　　通解：y = yh + yp　　→ y = c1x2 + ( c2／x2 ) - ( x3／3 ) #

2006-01-13 16:12:34 補充：
〝阿力〞回答的文不對題，是要算工數不是要解釋名詞，這就算了！還複製我的答案↓
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1405112612360
怎麼「知識」裡有這種大白目啊！我的天吶......

Answer 2

我想請問一下
y'' = d2y／dx2 = ( d／dx )[ ( 1／x )( dy／dt ) ]
　　　= ( 1／x2 )( d2y／dt2 ) - ( 1／x2 )( dy／dt )
這一段是怎麼寫出來的?
我知道先微1/x，那微( dy／dt ) 要怎麼寫?
謝謝

Answer 3

　Euler-Cauchy equation，通常翻譯成「尤拉-柯西方程式」。

　　Cauchy，幾乎每本中文書或中譯書都翻譯成「柯西」，至於Euler的話翻譯名稱可多了，如「尤拉」、「歐拉」、「尤勒」、「歐樂」......等，不必拘泥。

　　Euler-Cauchy equation是一種〝變係數微分方程式〞，一般〝常微分方程式〞型式為：ay''+by'+cy=r(x)，應變數y前面的係數是a、b、c都是常數，所以稱〝常微分方程式〞。

　　至於〝變係數微分方程式〞的型式為：ax2y''+bx1y'+cx0y=r(x)，應變數y前面的係數是ax2、bx1、cx0為自變數x的次方，所以稱為〝變係數微分方程式〞，也有書本稱為〝等維線性微分方程式〞，因為x的次方數會對應著y的階數，如x2對應著y''、如x1對應著y'、x0對應的就是y（零階）。