工數的柯西－尤拉方程式高手幫解

Question

工程數學禮拜二要考，緊急求救，一題20點，有5題喔

x^2y''－2xy'＋y＝10sin(ln x)

y(1)＝3　　y'(1)＝0

題目打錯，是
x^2y''－2xy'＋2y＝10sin(ln x)
才對

Answer 1

3. Solve　x2y'' - 2xy' + 2y = 10sin ln│x│， y(1) = 3 ， y'(1) = 0sol：　　令 x = et → t = ln│x│　　y' = dy／dx = ( dy／dt )( dt／dx ) = ( 1／x )( dy／dt )　　y'' = d2y／dx2 = ( d／dx )[ ( 1／x )( dy／dt ) ]　　　= ( 1／x2 )( d2y／dt2 ) - ( 1／x2 )( dy／dt )　　將 y'、y''、t = ln│x│代入原 Cauchy - Euler equation 得：　　( d2y／dt2 ) - 3( dy／dt ) + 2y = 10sin t　　特徵方程式：r2 - 3r + 2 = 0　　→ ( r - 1 )( r - 2 ) = 0 → r = 1 , 2 ～ 相異實根　　yh = c1et + c2e2t　　　 = c1x + c2x2 ～ 齊性解　　利用未定係數法求特解：　　令 yp = Acos t + Bsin t　　→ dyp／dt = - Asin t + Bcos t　，　d2yp／dt2 = - Acos t - Bsin t　　將 dyp／dt、d2yp／dt2 代入 ( d2yp／dt2 ) - 3( dyp／dt ) + 2yp = 10sin t　　→ ( A - 3B )cos t + ( 3A + B )sin t = 10sin t 　　比較係數得：( A - 3B ) = 0　,　( 3A + B ) = 10　　→ A = 3　,　B = 1　　→ yp = 3cos t + sin t　　　　  = 3cos ln│x│+ sin ln│x│～ 特解　　通解：y = yh + yp　　→ y = c1x + c2x2 + 3cos ln│x│+ sin ln│x│　　代入邊界條件 x = 1 , y = 3 得：　　c1 + c2 = 0　　y' = c1 + 2c2x - ( 3sin ln│x│／x ) + ( cos ln│x│／x )　　代入邊界條件 x = 1 , y' = 0 得：　　c1 + 2c2 = - 1　　聯立 c1、c2 解得：c1 = 1、c2 = - 1　　→ y = x - x2 + 3cos ln│x│+ sin ln│x│#

2006-01-13 16:31:10 補充：
這題數據實在是設計的很漂亮，我覺得是必考喔！