請問柯西-尤拉方程式總共五題100點救救我啊

Question

工程數學禮拜二要考，緊急求救，一題20點，有5題喔

x^3y''' xy' - y = x^2

y(1) = 0　　y'(1) = 3　　y''(1) = 3

忘記補加號

x^3y'''＋xy'－y＝x^2

Answer 1

5. Solve　x3y''' + xy' - y = x2　，　y(1) = 0　，　y'(1) = 3　，　y''(1) = 3sol：　　令 x = et → t = ln│x│　　y' = dy／dx = ( dy／dt )( dt／dx ) = ( 1／x )( dy／dt )　　y'' = d2y／dx2 = ( d／dx )[ ( 1／x )( dy／dt ) ]　　　= ( 1／x2 )( d2y／dt2 ) - ( 1／x2 )( dy／dt )　　y''' = d3y／dx3　　　 = ( d／dx )[ ( 1／x2 )( d2y／dt2 ) - ( 1／x2 )( dy／dt ) ]　　　 = ( 1／x3 )( d3y／dt3 ) - ( 3／x3 )( d2y／dt2 ) + ( 2／x3 )( dy／dt )　　將 y'、y'''、x = et 代入原 Cauchy - Euler equation 得：　　→ ( d3y／dt3 ) - 3( d2y／dt2 ) + 3( dy／dt ) - y = e2t　　特徵方程式：r3 - 3r2 + 3r - 1 = 0　　→ ( r - 1 )( r - 1 )( r - 1 ) = 0 → r = 1 , 1 , 1 ～ 三重根　　yh = ( c1 + c2t + c3t2 )et　　　 = ( c1 + c2ln│x│+ c3ln2│x│)x ～ 齊性解　　用未定係數法求特解：　　令 yp = Ae2t　　→ dyp／dt = 2Ae2t　,　d2yp／dt2 = 4Ae2t　,　d3yp／dt3 = 8Ae2t　　( d3yp／dt3 ) - 3( d2yp／dt2 ) + 3( dyp／dt ) - yp = e2t　　→ Ae2t = e2t　　比較係數得：A = 1　　→ yp = e2t　　　　  = x2 ～ 特解　　通解：y = yh + yp　　→ y = ( c1 + c2ln│x│+ c3ln2│x│)x + x2　　代入邊界條件 x = 1 , y = 0 得：　　c1 + 1 = 0 → c1 = - 1　　y' = [ ( c2／x ) + 2c3ln│x│／x ]x + ( c1 + c2ln│x│+ c3ln2│x│) + 2x　　代入邊界條件 x = 1 , y = 3 得：　　c2 + c1 + 2 = 3 → c2 = 3 - 2 - c1 = 2　　y'' = [ - c2／x2 + ( 2c3／x - 2c3ln│x│)／x2 ]x + 2( c2／x + 2c3ln│x│) + 2　　代入邊界條件 x = 1 , y = 3 得：　　- c2 + 2c3 + 2c2 + 2 = 3 → c3 = ( 1 - c2 )／2  = - 1／2　　→ y = [ - 1 + 2ln│x│- ( 1／2 )ln2│x│]x + x2 #

2006-01-13 16:45:00 補充：
匿名版主您好，其實這些題目都可以技巧性避開以參數變異法求特解，這樣計算上就可以少了很多積分步驟，比較簡單，你們老師勾這五題都很能測出你們的程度，好好加油！

Answer 2

神~你好神~