請教工數問題工數課本 ERWIN KREY!很急 = =..

Question

工數課本 ERWIN KREYSZIG
P142 的 第10 題
x^3y''' xy'-y=x^2 , y(1)=0, y''(1)=3 , y'''(1)=3
和12題 y^5 10y'' 9y=40sinhx , y(0=0 ,y'(0)=6, y''(0)=0 y'''(0)=-26

第八版

我想請問詳細的解題方法謝謝!!

Answer 1

1. Solve　x3y''' + xy' - y = x2　，　y(1) = 0　，　y'(1) = 3　，　y''(1) = 3sol：　　令 x = et → t = ln│x│　　y' = dy／dx = ( dy／dt )( dt／dx ) = ( 1／x )( dy／dt )　　y'' = d2y／dx2 = ( d／dx )[ ( 1／x )( dy／dt ) ]　　　= ( 1／x2 )( d2y／dt2 ) - ( 1／x2 )( dy／dt )　　y''' = d3y／dx3　　　 = ( d／dx )[ ( 1／x2 )( d2y／dt2 ) - ( 1／x2 )( dy／dt ) ]　　　 = ( 1／x3 )( d3y／dt3 ) - ( 3／x3 )( d2y／dt2 ) + ( 2／x3 )( dy／dt )　　將 y'、y''' 代入原 Cauchy - Euler equation 得：　　→ ( d3y／dt3 ) - 3( d2y／dt2 ) + 3( dy／dt ) - y = e2t　　特徵方程式：r3 - 3r2 + 3r - 1 = 0　　→ ( r - 1 )( r - 1 )( r - 1 ) = 0 → r = 1 , 1 , 1 ～ 三重根　　yh = ( c1 + c2t + c3t2 )et　　　 = ( c1 + c2ln│x│+ c3ln2│x│)x ～ 齊性解　　用未定係數法求特解：　　Let yp = Ae2t　　→ yp' = 2Ae2t　,　yp'' = 4Ae2t　,　yp''' = 8Ae2t　　( d3yp／dt3 ) - 3( d2yp／dt2 ) + 3( dyp／dt ) - yp = e2t　　→ Ae2t = e2t　　比較係數得：A = 1　　→ yp = e2t = x2 ～ 特解　　通解：y = yh + yp　　→ y = ( c1 + c2ln│x│+ c3ln2│x│)x + x2　　代入邊界條件 x = 1 , y = 0 得：　　c1 + 1 = 0 → c1 = - 1　　y' = [ ( c2／x ) + 2c3ln│x│／x ]x + ( c1 + c2ln│x│+ c3ln2│x│) + 2x　　代入邊界條件 x = 1 , y = 3 得：　　c2 + c1 + 2 = 3 → c2 = 3 - 2 - c1 = 2　　y'' = [ - c2／x2 + ( 2c3／x - 2c3ln│x│)／x2 ]x + 2( c2／x + 2c3ln│x│) + 2　　代入邊界條件 x = 1 , y = 3 得：　　- c2 + 2c3 + 2c2 + 2 = 3 → c3 = ( 1 - c2 )／2  = - 1／2　　→ y = [ - 1 + 2ln│x│- ( 1／2 )ln2│x│]x + x2 #2. Solve　y'''' + 10y'' + 9y = 40sinh x　，　y(0) = 0　，　y'(0) = 6　　　　　　　　　　　　　　　　　   y''(0) = 0　，　y'''(0) = - 26sol：　　這題應該是 y'''' 不是 y'''''！因為初值條件只給到 y'''(0)，只夠解出 4 個未定係數，如果是 y''''' 就是五階微分方程式，會產生五個未定係數，所以題目應更改為 y'''' 才對！　　特徵方程式：r4 + 10r2 + 9 = 0　　→ ( r2 + 1 )( r2 + 9 ) = 0 → r = ± i , ± 3i　　yh = c1cos x + c2 sin x + c3cos 3x + c4sin 3x ～ 齊性解　　以未定係數法求特解：　　非齊性項：40sinh x = 40[ ( ex - e-x )／2 ]　　　　　　　　　　  = 20( ex - e-x )　　故令 yp = Aex + Be-x　　→ yp' = Aex - Be-x　，　yp'' = Aex + Be-x

Answer 2

你是用第幾版的課本阿!