張量為什麼有九個分量?

Question

我知道,純量是零階張量,只有大小;向量乃一階張量,有方向;二階張量是什麼?和什麼力有關,可否舉例以數學式表示?

我其實連a11,a12等也不知是啥~能否解釋一下~
另外,u,v是啥?

我也想問問:
球面的度規張量guv是多少階張量?

Answer 1

二階張量就是有兩個指標,例如Auv有u,v兩個指標. 如果在三維空間,每個u,v都有三個量,所以Auv共有九個分量,也就是A11,A12,A13,A21,A22,A23,A31,A32,A33.
這可以表示成3X3的矩陣.

例如: 三維空間,材料受外力F產生的應力一般就是有九個分量,等於是二階張量.
外力F= Fu, u=x,y,z , 是一階張量(向量)
面積A=Av, v=x,y,z, 是一階張量(向量)
應力T=Tuv , u=x,y,z ; v=x,y,z, 是二階張量
寫成張量公式: 外力Fu=應力Tuv*面積Av

2006-01-01 13:13:23 補充：
u,v只是用來表示分量的記號,簡單的例子,車子速度是一個向量,在三維空間座標裡可以分解成X,Y,Z方向上的分量,也就是車子速度V=(Vx,Vy,Vz).把它寫成一階張量的形式,V=Vu,u就可以有x,y,z三個值了,所以用Vu來代替(Vx,Vy,Vz)的寫法.
同樣的A11,A12,....也是二階張量Auv的分量.

2006-01-01 22:06:42 補充：
你提到的度規張量guv就是二階張量啊!因為它有u,v兩個標記.如果N階張量,就會有N個標記喔!

2006-01-02 22:27:29 補充：
guv是二階張量沒錯!在三維空間,u與v都有x,y,z三個值,所以3x3有9個分量
另外,愛因斯坦重力定律Guv=0(在沒有物質存在的空間裡),此張量Guv是二階的,它是從四階黎曼曲率張量降階而來的,在四維時空,一般會有4x4=16個分量.

2006-01-03 17:54:42 補充：
看不懂你要問甚麼?

2006-01-05 22:04:00 補充：
一般座標系裡,兩點間的距離dS可以表示成:dS^2=guv*dXu*dXv
若座標系是三維直角座標,且空間滿足歐幾里得幾何,則度規張量guv的分量是:g11=g22=g33=1,g12=g13=g21=g23=g31=g32=0,所以,dS^2=1*dX1*dX1+1*dX2*dX2+1*dX3*dX3=dX1^2+dX2^2+dX3^2,得到dS^2=dX1^2+dX2^2+dX3^2
這就是一般的距離公式.

2006-01-07 10:33:08 補充：
沒錯啊!你說的和我講的是一樣的,只是愛因斯坦他們把x,y,z用X1,X2,X3來取代,將座標張量化而具有上下標了.

在四維空間,且是閔可斯基空間:
ds^2=dx^2+dy^2+dz^2-c^2*dt^2
會是不變量.所以取x1=x,x2=y,x3=z,x4=ict,得到
ds^2=dx1^2+dx2^2+dx3^2+dx4^2,所以g11=g22=g33=g44=1,其它都為0.若用
ds^2=dx^2+dy^2+dz^2-c^2*dt^2
則g11=g22=g33=1,g44=(ic)^2,其它都為0.

2006-01-08 17:34:17 補充：
請參考吳大猶教授的相對論,我也是自修這本書而學來的.

2006-01-11 15:59:21 補充：
推薦你一本書,凡異出版社的"白話相對論",看完這本書再看吳大猶的書,應該就比較看得懂了.
這書把張量,相對論說得很簡潔清楚.

Answer 2

啊~謝謝你~可是可否舉一些是二階張量的例子?(例如一階張量:速度等)

2006-01-02 18:17:24 補充：
可是平面度規張量只有4個分量啊!還有,可否舉一些二階張量的例子?

2006-01-03 17:28:44 補充：
guv=0?矩陣可以代表數的嗎?

2006-01-05 17:43:30 補充：
可否說明一些例子,是用張量表示的?

2006-01-06 18:36:31 補充：
我看一本書中,歐幾里德的距離公式是ds^2=dx^2+dy^2+dz^2,度規張量是g11=g22=g33=1,g12=g13=g21=g23=g31=g32=0,不是這樣嗎?還有,三維的公式是ds^2=dx^2+dy^2+dz^2,四維時空是怎樣的?

2006-01-07 11:15:43 補充：
啊~thank you啦~還有我也想再請問一些問題:什麼是能量和動量密度?以下的式子是什麼意思?
Euv=8*圓周率*G*Tuv/c^4

2006-01-10 16:16:20 補充：
啊~我也有看過啦~借了3次~但對我這種爛程度來說太深了~

2006-01-11 14:58:05 補充：
我又借了一次
根據等效原理,一物體加速度是a,我身在裏面,分不到究竟是在重力加速度是a的星球中或是在加速度為a的太空船中
加速度為a,則速度為at,自己感覺到一秒即是外面的1/(1-a^2t^2/c^2)開方,是否這樣就是重力紅移?

2006-01-11 17:59:32 補充：
"是亂碼嗎?不過也謝謝你的推薦