一個關於彈性位能的疑惑

Question

最近再解彈力位能時 有個小小的疑惑
如有一彈簧彈力常數為K正立固定於桌上
今以質量為M的物體放於其上鉛直釋放之
則求其儲存之彈力位能?
由Mg=Kx 得伸長量為x=Mg/K
再由彈力為能公式Us=1/2(Kx^2)得Us=M^2g^2/2K PS:^2為平方的意思
奇怪的是重力做功W=Fx得W=M^2g^2/K
兩著相差2倍
請問各位大大到底怎麼回事呢


又有一題題目條件跟上述相同 只是物體從距離高為S處落下且已知彈簧壓縮量為x
求其S=?
我是這樣列式的 1/2(Kx^2)=Mg(S+x)
由方程式得x
那麼我今天取S=0不就又與一開始的問題相矛盾了嗎?

心中的困惑一直無法解開 還望大大指教
困惑的高中生感激不盡

Answer 1

那先從第一題來看 :
先想想看作用在物體上的力有哪些? 彈力和重力嘛!
那麼對物體作功的力就不只是彈力而已, 過程中因為重力作正功, 彈力作負功(與位移相反), 把這兩者相加起來,多出的功會是最後的彈力位能!
注意!彈力位能只是狀態量而已, 沒有所謂的方向!
但其實這邊彈力作功的部份是需要積分的,而積分結果就等於1/2(Kx^2)
所以(Mg)^2/k-1/2(kx^2)=(Mg)^2/k-(Mg)^2/2k =(Mg)^2/2k
這就是最後的彈力位能啦!

接下來第二題 :
還是一樣, 只要考慮彈力做的功答案就正確了!

也許你會有難接受這觀念, 有個例子可以應證 :
你知道F=kx嘛..例如一個題目說
一個彈簧彈力常數k, 當你施力定力F讓他位移x, 求F
可以想成施定力所做的功為Fx
彈力作功為1/2(kx^2)
定力所做的功扣掉彈力作功為儲存的彈力位能
Fx-1/2(kx^2)=1/2(kx^2)----->(最後的位能)
移項後, Fx=kx^2, 約掉x
得F=kx
並沒有矛盾阿~
這樣子應該就可以接受了ㄅ...
可以在好好想想看, 有問題再提出來~

Answer 2

重力Mg 與彈簧伸長量x是無關的, 重力Mg是常數值.
所以, 重力做功W=Fx=Mg*x = Mg*(Mg/K) = M^2g^2/K

彈簧彈力 f 與 彈簧伸長量x 卻是成正比 , 也就是 f=Kx.
當伸長量從0增加到x, f 也從0 增加到 Kx,
所以, 彈力位能Us = 彈簧彈力作功 = f對x積分從0到x = (1/2)*(Kx)*x = 1/2(Kx^2)=M^2g^2/2K

另一個比照上面理由, 你可以試試