傅立葉轉換的問題

Question

上禮拜老師教到傅立葉轉換
但是還是不太懂
所以來這邊問問大家

就是
為什麼...
δ(t)=∫e^ (j2πf t) df ；為什麼這串積分會等於 δ(t)
δ(t)=∫e^ -(j2πf t) dt ；區間都是 負無窮大到無窮大

這兩式的結果為何會這樣

另外
老師說
let
f→ -t
t→ f

t跟f的關係是啥...
請大大解釋一下
感恩嘎~

δ(f)=∫e^ -(j2πf t) dt ；上面第二個式子打錯了
是 δ(f) 才對

Answer 1

　　您好，Fourier轉換的積分區間，就是負無限大~正無限大，這是Fourier下的定義，無庸置疑，這也是跟Laplace轉換的積分區間從0~正無限大最主要不同之處。

　　而δ函數，又稱單位脈衝函數（Unit Plus Function），是影響科學界很深遠的函數之一，排除數學家以微積分對此函數下的嚴謹定義，最讓我們工程科系通用的定義為：「當ｔ（時間軸）等於零時，其值為〝１〞；在其他任意時間軸上，其值為〝０〞」，再說白話一點，就是ｔ＝０時值為１，其他都是０。

　　所以，以反證來思考，若對δ(t)做Fourier轉換，則
Ｆ[δ(t)]＝∫δ(t)e^ -(j2πf t) dt＝e^ -(j2πf t)，此時ｔ代入0會等於１
　　所以Fourier反轉換Ｆ^-1[１]＝∫e^ (j2πf t) dt＝δ(t)

　　同理，對δ(f)做Fourier反轉換，則
Ｆ^-1[δ(f)]＝∫δ(f)e^ (j2πf t) df＝e^ (j2πf t)，此時ｆ代入0會等於１
　　所以Fourier轉換Ｆ[１]＝∫e^ -(j2πf t) dt＝δ(f)

　　以上解釋的應該很清楚了，一定要拿紙筆演算幾次才會明瞭喔！Fourier分析這個單元在工數是與複變數分析一同名列第二難的，第一就是偏微分方程式（P.D.E.），剛開始要多下紙筆功夫，且這個單元唸好，對通訊和訊號處理（兩者幾乎都是在玩Fourier分析、Laplace轉換和線性代數）是很容易上手的。

　　至於ｔ與ｆ，一個表時域（時間領域的函數），一個表頻域（頻率領域的函數），Fourier轉換最便利的神奇功效，便是以Fourier轉換（正轉換）將時域函數表為頻域函數，也可將頻域函數以Fourier反轉換，轉回時域函數，對工程師來講，這種數學技巧相當實用，也利於分析訊號、雜訊。

　　以上希望能幫助您，若再不懂您再發E-mail給我吧！