為什麼”功”不是向量?

Question

為什麼"功"不是向量?
為什麼"功"不是向量?

請問......"功"既然有正.負 為什麼不屬於向量?

by~升國三正在百思不解的學生> <

Answer 1

是不是向量....並不能夠用正負號來判斷....因為正負號除了可以用來表示方向以外....也可以用來表示大小....高低....強弱....等等力是向量....他的正負號表示的是方向....所以如果你看到兩個力分別是 +5N 和 -5N 那你可以說他們是 大小相等,方向相反的力但是我們來看看能量如果有兩個物理變化其能量變化是 +5J 和 -5J 的兩個能量, 只是表示 在某一參考總能量下觀察,              一個反應是能量增加,              另一個反應的能量是減少......對於國中學生....我只能做這樣的解釋....如果就高中以上....或是你尚不滿意我的回答...請再提出吧....用比較數學的方式來解釋給你

Answer 2

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Answer 3

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Answer 4

大大~我想聽聽數學式的解釋捏!!~可以麻煩妳嗎??

Answer 5

幹嘛都複雜化？小弟，你如果真的想知道原由，會看得有點吃力唷！
所謂功也就是Ｗ＝Ｆ*Ｓ
由於力和位移都具方向，故可稱為向量。
然而向量沒有乘法只有內積，
因此a向量．b向量寫成｜a向量｜｜b向量｜cosθ。
＜比較＞
向量：同時具有大小和方向 Ex:力、速度、位移。
純量：只具有大小 Ex:體積、容積、能量。
=====國中討論範圍幾乎都純量(除理化) 。=====
｜a向量｜｜b向量｜cosθ
= 絕對值*絕對值*cos函數值
= 純量*純量*純量
= 純量

得知，功為一種能量，因此也是純量。
看你想從物理或數學觀點想！有個概念就好，高二會學到的。

2005-08-13 21:00:15 補充：
向量變純量不難解釋，只是不知道他懂不懂？看來國立編譯館的版本還是比較好！

Answer 6

力是向量這你應該知道..
向量就是有方向性的"量"..
要描述一個力需要用向量來表示它的大小和方向，缺一不可.
當一個力作用在一個物體上時，物體的運動狀態受到改變時..
這時物體所帶有的能量如果和原本不一樣..
也就是發生改變時，這個情形就叫作 力對物體作"功".
簡單的說，作"功"的定義就是物體狀態改變的前後能量的變化.
要描述一個物體的運動狀態..我們要用"動量"來描述.
動量就是 p = mv ，其中p和v是向量.
討論了這些東西都是向量，那為什麼"功"是純'量？
這時要跟你解釋，就需要用到向量的內積和微積分.
我在這裡先說明這2個東西，主題我就順帶說明.

向量的內積：
因為符號的關係，我這裡先定義一下向量符號好了..
我現在以 r*代表 r 向量，r^代表 r 方向的單位向量。其它依此類推.
(當然這不是原本的向量符號)
當2個向量 a*，b* 不為同一個方向時，這2個向量就會有一個夾角..
設夾角為θ.
此時要表示a*在b*方向上的投影量時，我們就會用到內積來表示..即
a*‧b* = ab cosθ.
代表 a*在 b^ 方向的分量值 x b*的量值..即
[ │a*│ cosθ] b^‧│b*│b^ = ab cosθ[ b^‧b^ ] = ab cosθ.
單位向量的量值是1，從內積的定義可知
b^‧b^ = 1 x 1 cos0 = 1.
當物體受力時，力 F*可以分解成平行和垂直物體速度方向的2個分量.即
F* = Fn* + Ft*.(Fn*表垂直分量，Ft*表水平分量)
只有平行於運動方向的力會對物體作功.
因為從功的定義可知.
W = F*‧S* = FS cosθ.
S*代表位移的向量.在直線運動中S* // v*.
Fn*‧S* = FnS cos90∘= 0
Ft*‧S* = Ft S cos0∘ = Ft x S.
所以 垂直速度方向的力不作功.
又Ft = F cosθ，所以 Ft*‧S* = FS cosθ，回到上述的部分.
所以當受力方向和物體速度方向不平行時，力所作的功就是..
W = F*‧S* = FS cosθ. 是純量，不是向量.
但是這個前提是速度方向不改變，當位移和速度的方向隨時間改變時，就要用微積分來解釋了..

簡單的微積分：
微分，簡單的說就是取很小段的變化.
例如我們在算速度時..我們都知道
Δx = vΔt → v = Δx / Δt.
當一個物以v的速率在運動時，它位移的距離 x 是隨時間改變的.
因此 x 可以用時間的函數來表示. 即 x ≡ x(t).
先假設 x( t ) = t^2 (這裡 x^y表示x的y次方，不是x的單位向量乘以y)
取兩個很接近的時間點 t 和 t' .
令 t' = t + dt ( dt 趨近於0，你可以把它當作是0來想，但是它不是d乘以t..)
則 Δt = t' - t = dt.
Δx = x( t' ) - x( t ) = ( t + dt )^2 - t^2 = t^2 + 2t dt + (dt)^2 - t^2 = 2t dt + (dt)^2.
→ v = Δx / Δt = [ 2t dt + (dt)^2 ] / dt = 2t + dt = 2t + 0 = 2t.
因此得到 v( t ) = 2t.
這個過程就叫作 微分 .
位移的微分就得到速度..按照上面的步驟再操作一次..
也就是 v( t )對時間 t 微分就可以得到 加速度 a = 2.
微分最基本的公式就是： d [ x^n ] / dx = n x^(n - 1).
上式就是 x^n 對 x 微分 = n x^(n - 1).
一個函數微分出來的函數就叫作 導函數.
設 F(x)的導函數是f(x).則.
f(a)的值 = 函數F(x)的圖形在 x = a 時的切線斜率.
這個你可以自己去驗證.
在物理中我們都會學到： X - t圖中的斜率表速率，v - t 圖中的斜率是加速度.
從剛剛敘述的東西我們可以知道：
位移對時間微分 → 速度，速度對時間微分 → 加速度
物體受力會使動量改變，所以力就是動量的時變率..即
F = dp / dt = d(mv) / dt = m(dv / dt) + v(dm / dt)【這是微分的一個公式，看看就好】
因為我們討論的部分是在物體質量不改變的狀況下.所以m是常數.
可視為 m = m t^0
→ dm / dt = m [d(t^0) / dt ] = m‧0 t^(-1) = 0.
也就是常數的微分會 = 0.所以上式就變成
F = dp / dt = d(mv)/dt = m( dv / dt ) = ma.【加速度 = 速度微分→ a = dv / dt】
就變成我們熟知的牛頓第二運動定律.其真正的一般型式是上面提到的.
積分的解釋比較複雜..我在這裡就直接說積分是微分的逆運算.
也就是說 加速度對時間積分 → 速度，速度對時間積分 → 位移.
積分的基本公式：∫x^n dx = 1/(n + 1) x^(n+1) + C.
上式表示x^n對x積分 = 1/(n + 1) x^(n+1) + C.
C是積分常數，通常可以從題目給的條件得到，這裡先不理它.
你可以試試把一個簡單的函數積分後再微分，看看是不是和原本的相同.
當我們對一個函數積分時，我們如果給定一個範圍..
例如∫x dt，如果我們給定一個範圍，從 t1到t2..
那麼積分出來的值 = x - t圖中的區線和 t = t1、t = t2、x = 0所圍成的面積.
這種有範圍的積分就叫作 定積分..定積分中不會有積分常數C的出現.
像上述的積分中..設∫x(t) dt = X(t).
則這個從範圍從t1到t2的積分值就等於 X(t2) - X(t1).
在F - x圖中，曲線下所圍的面積 = 功 (這個你應該學過吧)
在F - x圖中，將x = x1和x = x2間分割成很多等份..
設每個等份為dx. dx趨近於0，所以所分成的等份是趨近無限多的.
考慮在位移dx之間力F所作的功..即
dW = F dx .
將x1到x2間的每一個我們剛剛分割的"等份"(即dx)之間F所作的功相加.
這個運算就是積分..也就是
∫F dx，∫可以代表將那些全部的F dx相加.
所以∫F dx【範圍x1到x2】 = ∫dW = W.
如果力和位移是用向量來討論時，我們可以得到
W = ∫F*‧dx*
設力為F*，位移為r*.
我們知道速度 = 位移對時間的微分.所以.
dr* / dt = v* → dr* = v* dt 【這個是微積分裡面的一個定理，你可以當作分數的運算來記，但是它絕對不是分數的運算】
從上面討論過的我們知道：dW = F*‧dr* = F*‧v* dt
又F* = m a* = m( dv* / dt )
→dW = m(dv* / dt)‧v* dt = m v*‧dv*
兩邊積分，得到
W = ∫dW = ∫m v* dv* = (1/2)m ( v*)^2 = (1/2)m[v*‧v*] = (1/2)m v^2 = ΔEk
當然這個積分是有範圍的.所以W值就是把範圍套進去算.
從上式我們可以得知功W就是動能Ek的變化.
所以功和能有同樣的單位，所以功和能量都不是向量.
不是向量的證明都在上面了..
功會有正負，是因為ΔEk = Ek2 - Ek1，當Ek2 < Ek1時功就是負的.
功的值是正的，代表物體受力後物體帶有的能量增加.
功的值是負的，代表物體受力後物體帶有的能量減少.
能量有多種形式，上面是以動能來說明.

上面的一大堆東西其實以國三生來說是不需要去理解的.
只是為了說明功不是向量..你只要記住結論：
功的值是正的，代表物體受力後物體帶有的能量增加.
功的值是負的，代表物體受力後物體帶有的能量減少.
就可以了.

2005-08-12 22:27:29 補充：
@@"...
就為了解釋為啥不是向量@@
因為他問到的東西..
他知道向量是啥..
向量會變純量..很難解釋啊><

Answer 7

有阿

Answer 8

因為他只有正負
沒有方向性
他是能量
有大小正負
但是沒有方向性
向量他是有方向性的