”急” 統計學的幾個問題(20點)

Question

麻煩各位大大以下的問題我不知道該怎麼解，書上也沒有附解答，解出來也不知道對不對，肯請會的人幫小弟解答一下，感激不盡……^__^

1.設某學校學生身高之平均數為 μ =160公分及標準差為 σ =5公分。
(1)今由此學校的學生中隨機抽出100人，議問100人之平均身高 x 之分配為何?
(2)議求 p {x>161}之機率。已知 p{-2 p{-1
2.假設某學院有學生5000人，其中僅有500人之視力正常，今隨機抽取20人，此20人之抽取出不放回之方式。令 X 表視力正常之隨機變數，試求
(1)X 之機率分配。 (2)試求 P{X小於等於2}=?

3.設X為服從二項分配之隨機變數，其期望值為 E(X)=6 與變異數為 V(X)=3,試求該分配的參數 P 與其樣本數 n 為何?

4.某次大學聯考，考生之分數呈現常態分配，其中μ=500與 σ =100 ; 現隨機抽取一人， 其成績判於325與675分之間的機率為何?
已知 : P{Z>1.75}=0.0401, Z為標準常態分配之隨機變數。

5.若某學院二撌學生之總成績分配為常態分配 N(65,10的2平方)，今欲取前20%的學生保送二技，請問最低保陝分數為何?
已知 : P{Z<0.84}=0.8，Z服從標準常態分配

哇~~有兩位熱心的人士為小弟解答，真是感激不盡，但問題來了，我不知道該選誰也，又不能分一半，所以將他交付於投票，不管是誰，小弟很感謝大大的熱心幫助^_^

Answer 1

1.
(1)
平均數之抽樣分佈，其變異數為
σ/√n=5/√100=0.5
平均身高 x ~N(160,0.5)
(2)
(161-160)/0.5=2
P(Z>2)=(1-P(-2 身高條件先換算成 Z
再求出大於 Z 時，機率是多少

2.
(1)
P(X)=C(20,X)*(500/5000)^X*(1-500/5000)^(20-X)
二項分配：總共 20 次試驗， X 次成功，每次成功的機率是 500/5000=0.1
(2)
P(0)=C(20,0)*(0.1)^0*(1-0.1)^(20-0)=0.1216
P(1)=C(20,1)*(0.1)^1*(1-0.1)^(20-1)=0.2702
P(2)=C(20,2)*(0.1)^2*(1-0.1)^(20-2)=0.2852
P(X<=2)=0.6770

3.
二項式分配的期望值與變異數公式如下：
E(X)=np=6
V(X)=npq=3
q=E(X)/V(X)=3/6=0.5
p=1-q=1-0.5=0.5
n=E(X)/p=6/0.5=12

4.
(325-500)/100=-1.75
(675-500)/100=1.75
P(Z<1.75)=1-P(Z>1.75)=1-0.0401=0.9599
P(Z<-1,75)=P(Z>1.75)=0.0401
P(-1.75 先把左界與右界的分數換算成 Z 值，然後求標準常態分配時，這兩個 Z 值間的累積機率是多少

5.
看不懂「10的2平方」是什麼，所以先用 k 代
P(Z>(最低分數-65)/k)=20%
P(Z<(最低分數-65)/k)=1-20%=0.8
=> (最低分數-65)/k=0.84
最低分數=0.84*k+65
題意就是：當 Z 值取多少的時候，大於 Z 值的累積機會是 20%

Answer 2

1.X~N( μ =160,σ^2 =25 )
(1) n = 100 所以 X bar ~ N(μ =160 , σ^2 / n = 0.25 )
(2) P(X bar > 161) = P( Z> 2 ) = 0.0228

2.(1)X:5000人中抽出20個視力正常的人數
X~Hyper( N=5000 , k=500 , n=20 )
(2) 因為N夠大 所以可以趨近於二項分配
X~B( n=20, p=k/N=0.1 )
P(X≦2) = C(20,0)*0.9^20 + C(20,1)*0.1*0.9^19 + C(20,2)*0.1^2*0.9^18 = 0.67693

3.X~B( n , p )
E(X) = np = 6 ..........(1)
V(X) = np(1-p) = 3 ........(2)
(2)/(1) 可得 1-p = 0.5
所以 p = 0.5 , n = 12

4. X~N( μ =500 ,σ^2 =10000 )
P(325≦X≦675) = P(-1.75≦Z≦1.75)
= 0.4599 *2 = 0.9198

5. X~N( μ =65 ,σ^2 =100 )
P(X>k) = 0.2
所以P( Z > (k-65)/10 ) =0.2
所以 (k-65)/10 =0.84
k= 0.84 * 10 + 65 = 73.4