內積與外積

Question

請問在
什麼情況下該用內積
什麼情況下該用外積
內積與外積的物理意義分別是什麼?

可舉一生活中的例子嗎

Answer 1

向量的內積：1.平面向量設向量ａ＝(ｘ1,ｙ1),ｂ＝(ｘ2,ｙ2)為兩個非零向量，θ為其夾角(０≦θ≦π）向量ａ與向量ｂ的內積（記作向量ａ．向量ｂ）＝向量ａ的長 × 向量ｂ的長 × cosθ＝ｘ1．ｘ2＋ｙ1．ｙ22.空間向量設向量ａ＝(ｘ1,ｙ1,ｚ1),ｂ＝(ｘ2,ｙ2,ｚ2)為兩個非零向量，θ為其夾角(０≦θ≦π）向量ａ與向量ｂ的內積（記作：向量ａ．向量ｂ）＝向量ａ的長 × 向量ｂ的長 × cosθ＝ｘ1．ｘ2＋ｙ1．ｙ2＋ｚ1．ｚ2向量的外積：在空間中兩非零向量，向量ａ＝（ｘ1,ｙ1,ｚ1）,向量ｂ＝（ｘ2,ｙ2,ｚ2）向量ａ與向量ｂ的外積（記作：向量ａ×向量ｂ）＝（｜ｙ1　ｚ1｜,｜ｚ1　ｘ1｜,｜ｘ1　ｙ1｜）　　｜ｙ2　ｚ2｜ ｜ｚ2　ｘ2｜ ｜ｘ2　ｙ2｜(上式為行列式)＊向量內積所求得的為一個值　向量外積所求得的為一向量（即向量ａ及向量ｂ的法向量） 物理意義:內積在靜力學中，有時需要求取兩直線間的夾角，或求取某力與某一直線互相平行和垂直的分力。在二維平面問題中，此類問題是非常容易以三角學予以解決；但對三維空間的問題，則較難處理，而必須利用向量的方法來求解。向量內積 (dot product) 是一種處理兩個向量乘積的特殊方法，用來解決上述的問題。兩向量 A 和 B 的內積寫成 A˙B，讀作 "A dot B"，定義為 A 和 B 兩向量的大小與其夾角的餘弦函數的乘積，其方程式之形式為A˙B = AB cosθ，其中 0°≦θ ≦180°。向量內積的結果為一純量，故也常稱之為向量的純量積。http://elearning.stut.edu.tw/mechanical/Statics/newpage71.htm外積就是兩個向量A&B所在平面的法線向量，因此外積運算出來的是一個垂直向量A也垂直向量B的向量值

Answer 2

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Answer 5

向量的內積：
1.平面向量
設向量ａ＝(ｘ1,ｙ1),ｂ＝(ｘ2,ｙ2)為兩個非零向量，θ為其夾角(０≦θ≦π）
向量ａ與向量ｂ的內積（記作向量ａ．向量ｂ）
＝向量ａ的長 × 向量ｂ的長 × cosθ
＝ｘ1．ｘ2＋ｙ1．ｙ2

2.空間向量
設向量ａ＝(ｘ1,ｙ1,ｚ1),ｂ＝(ｘ2,ｙ2,ｚ2)為兩個非零向量，
θ為其夾角(０≦θ≦π）
向量ａ與向量ｂ的內積（記作：向量ａ．向量ｂ）
＝向量ａ的長 × 向量ｂ的長 × cosθ
＝ｘ1．ｘ2＋ｙ1．ｙ2＋ｚ1．ｚ2

向量的外積：
在空間中兩非零向量，向量ａ＝（ｘ1,ｙ1,ｚ1）,向量ｂ＝（ｘ2,ｙ2,ｚ2）
向量ａ與向量ｂ的外積（記作：向量ａ×向量ｂ）
＝（｜ｙ1　ｚ1｜,｜ｚ1　ｘ1｜,｜ｘ1　ｙ1｜）
　　｜ｙ2　ｚ2｜ ｜ｚ2　ｘ2｜ ｜ｘ2　ｙ2｜
(上式為行列式)

＊向量內積所求得的為一個值
　向量外積所求得的為一向量（即向量ａ及向量ｂ的法向量）
參考資料
高中數學

物理的:
內積在靜力學中，有時需要求取兩直線間的夾角，或求取某力與某一直線互相平行和垂直的分力。在二維平面問題中，此類問題是非常容易以三角學予以解決；但對三維空間的問題，則較難處理，而必須利用向量的方法來求解。向量內積 (dot product) 是一種處理兩個向量乘積的特殊方法，用來解決上述的問題。兩向量 A 和 B 的內積寫成 A˙B，讀作 "A dot B"，定義為 A 和 B 兩向量的大小與其夾角的餘弦函數的乘積，其方程式之形式為A˙B = AB cosθ，其中 0°≦θ ≦180°。向量內積的結果為一純量，故也常稱之為向量的純量積。http://elearning.stut.edu.tw/mechanical/Statics/newpage71.htm外積就是兩個向量A&B所在平面的法線向量，因此外積運算出來的是一個垂直向量A也垂直向量B的向量值