為什麼1+1=2??

Question

以前看數學雜誌時,曾經有人證過,但是他的過程實在太複雜...看也看不懂...希望有人有更簡單的證法,3Q~~

Answer 1

所謂公理(Axiom)，就是沒有經過證明而採用﹛A並且人們都認為它是對的，而定理(在數學上我們不稱定律，而以定理(theorem)稱之)是能夠證明的，且公理之間不能互相證明，而定理卻可以互證。當然不是說不能證明的東西都叫公理，顯然公理只是數學上我們遵守的遊戲規則。

定律，顯然要有方法證明是對的，科學上證明方式太多，牛頓第二定律或熱力學第一定律，自有人從實驗中由適當理論證明此式子或定律是對的，科學上若將證明都採"理論式子"去證明未免太不了解科學的態度。

1+1=2的證明過程，顯然這句話是錯的，因為 1+ 1 = 2 是不能證明
的?這是從算術公理推衍出來的，而"2= 1 + 1"是公理之前所規定的符號與公式所組成的一些語句。
or:
在定義「2」的時候就是「1+1」，1+1等於2，2等於1+1
1+1為這個定義的前提內容
2為結論

補充一下,應該會有人提費曼的方法,其實那個也是,但比較是直覺上的判斷



簡易證明如下:

n(2n - 2) = n(2n - 2)
n(2n - 2) - n(2n - 2) = 0
(n - n)(2n - 2) = 0
2n(n - n) - 2(n - n) = 0
2n - 2 = 0
2n = 2
n + n = 2
or setting n = 1
1 + 1 = 2

另一個簡易證明:

1) x+0=x
2) x+y'=(x+y)'
(2) says x+the successor of y = the successor of (x+y) -- the ' is the successor function.
By convention, 0=0, 0'=1, 0''=2, and so on (thus we only need two symbols, '0' and ''', for all numbers). For 1+1=2 we have
0'+0'=(0'+0)' (by 2)
=(0')' (by 1)
=0'' (by simplification -- eliminating parentheses)
Therefore 1+1=2

而以上其實都不算是「證明」, 真正完整的證明必需將一切從頭開始, 先定義什麼是"1", 什麼是"+1", 以及什麼是"2"...劍橋大學的Bertrand Russell 及 Alfred North Whitehead兩位教授, 在1913年撰寫"Principia Mathematica", 用了100頁來證明(有興趣的話你可以去圖書館找找)

Answer 2

紅豆麻薯:
前面的"1滴水加一滴水"中1滴水的水分子個數 與"還是1滴水"的個數不同，單位不同是無法計算的...

Answer 3

其實1+1=2大家認為是數學.可是一塊黏土+一塊黏土=一大塊黏土.所以要看你是說神魔??

Answer 4

1滴水加1滴水...還是1滴水

Answer 5

十九世紀末,數學家是這麼做的(例如Dedekind):
我們把1,2,3,...和加法當作已知，不去定義它，像"點"和"屬於"一樣,

定義符號 n^+ = n + 1 , 假如有一個無窮集合ω滿足這五條公設:
1. 1屬於ω
2. 若n屬於ω,則n^+也屬於ω
3. 對每一個n屬於ω,n^+不等於0
4. 若ω的一個子集X滿足公設1與2,則X就是ω
5. 若n,m屬於ω,且n^+=m^+,則n=m
則我們稱ω為自然數,記為Ｎ.

所以我們把自然數這個集合定義完了,它是由我們已知的1,2,3,...和
已知的加法定義出來的.

這時的1+1=2是不用證的．

二十世紀的數學家對於這種定義無法滿足，主要是因為集合論的發展，
使得數學家想要把所有的東西都用集合與函數來表示，於是von Neumann
清楚定義自然數如下:
[定義] 0 = Φ
1 = {0} = {Φ}
2 = {0,1} = {Φ,{Φ}}

[定義] A^+ = A∪{A}
得到 0 = Φ
1 = 0^+
2 = 1^+
...
加法可以定成滿足下列兩個性質的函數，唯一性是可以證明的:
[定義] A1. m+0=m A2. m+(n)^+=(m+n)^+

於是我們可以證明1+1=2
proof: 1+1=1+(0)^+ by 1的定義
=(1+0)^+ by A2
=(1)^+ by A1
=2 by 2的定義

但是如果你是數學家，你就可以看出這樣實在令人很不滿足，因為
我只定義個別的自然數，自然數所成的集合卻無法"有限地"寫出來
，當怎麼寫都寫不完時，這東西真的具體存在嗎？
所以只好接受一個假設：
　　存在一個這樣的無窮集合
這是集合論重要的一條公設，稱為無窮公設．

而像這樣定義之後，我們可以證明自然數是唯一的，這樣才算有定
義好，不像我叫做陳志偉，這個菜市場名表示我爸媽沒把我定義好．

二十世紀的定法可以證明十九世紀的五條公設，所以這五條就變成
定理，這件事告訴我們，數學的嚴謹性是因時而異，前人覺得嚴謹
，以後可能變得不嚴謹．

1898年,Whitehead和他的學生Russell在"數學原理"三巨冊中,給了
數學邏輯式的推導,建立了數學的基礎,版上有人一直傳言"1+1=2"
要證明100多頁,可能是因為這部書在第二冊才提到它.到目前為止
,這是最"嚴謹"的了.(第110條定理)

至於為什麼要把0定義成空集合,你只要把空集合的另一個符號"{}"
寫出來,便可以發現它正是代表沒有東西的狀態,相似的,1則是裡面
有一個東西的集合,{Φ}.這不是很自然嗎?


至於自然數有沒有包含0？
可有可無,端看定義．
若覺得零不自然，因為人類數數是從一開始數，那就把零排除．
若是從上述集合論的觀點來看，少了零才不自然

只要定義清楚就沒問題了．
不過我覺得把零排除，以後使用起來比較方便．
據說，台灣好像普遍採用排除零的自然數系

2005-08-02 17:46:36 補充：
另外這還有幾個1+1的東西：

孔子: 未知 1 , 焉知 2
莊子: 1 + 1 不等於 2

惠子: 你又不是 1, 你怎麼知道 1 + 1 不對於 2?
康有為: 其實孔子在春秋之中，早就預示了 1 + 1 不對於 2
胡適: 我不能告訴你為什麼 1 + 1 不對於,只能告訴你科學的方法,大膽假設, 小心求證

2005-08-02 17:46:49 補充：
馬克思: 1 + 1 不等於 2, 這是歷史辯證的必然後果
愛因斯坦: 1 + 1 真的不等於 2 嗎? 你們是否考慮到, 也許是 2 不等於 1 + 1

2005-08-02 17:46:54 補充：
毛澤東: 1 + 1 不等於 2, 這證明了資本主義壓榨廣大無產階級的事實
愛默生: 它並非不等於 2 , 而是超越了 2
維根斯坦: "等於" 的可能性被包含在 "1 + 1" 與 "2" 這兩個對象當中,而環境使得此一潛在可能性實現
女性主義者: "1 + 1" 終於了解到它不是附屬於 "2" 的

2005-08-02 17:49:04 補充：
董仲舒: 1 + 1 不等於 2 乃是異象, 反映了今上之德有虧, 應努力修德

Jacques Derrida: 1 + 1 不對於 2 將引發各種爭論.而且由於我們永遠弄不清楚每個ㄔX論點的人背後的意圖為何,因此每種詮釋都具有相同的正當性. 因為結構主義已死!
朱熹: 我們應該仔細觀察為何 1 + 1 不對於 2,以得到天下至極之理,此乃格物致知也.

2005-08-02 17:50:05 補充：
榮格: 在文化整體格架中的諸事件之匯流, 使得 "1 + 1" 在歷史轉折處不等於 "2",因而同時使得這類偶然事件發生了

2005-08-02 17:50:11 補充：
沙特: 為了秉持信念行事並對自己誠實, "1 + 1" 覺得自己有必要不等於 "2"
海森堡: 我們不確定 "1 + 1" 應該是大於或小於 "2", 但 1 + 1 的確不對於 2
達爾文: "1 + 1" 不再等於 "2" 這是合理的進化方向

2005-08-02 17:51:05 補充：
大謬不然.....
見下引 :「天地與我並生，而萬物與我為一。既已為一矣，且得有言乎？既已謂之一矣，且得無言乎？言與一為二，二與一為三。自此以往，雖巧歷不能得，而況其凡乎？」

Answer 6

你如果真的要看證明，大學考試都考過，不容易喔以下三個公設可以證明 1+1=2 . 一. next(1)=2, next(2)=3, next(3)=4 ...(自然數的定義) 二. prev(next(n))=n, if n 是自然數 (前後關係的定義) 三. m + n = next(m)+prev(n) if n1 or m + n = next(m) if n=1 其中 m,n 皆為自然數 (加法的定義) 由以上三式得 1+1=next(1)=2當然，這可能太深了，等您學過大學以上的數學才會明白。http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1105060604635如果1+1不=2 則1+1>2 或1+1<2如果1+1>2 則1+1-1>2-1 則1>1 不合如果1+1<2 則1+1-1<2-1 則1<1 不合所以1+1=2參考資料http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1005022002324

Answer 7

簡單得證法喔...
你先拿一支原子筆放在桌上...
再拿一支一樣的原子筆放在他旁邊...

這時...低頭看看桌子...
沒錯...答對了...兩支原子筆...

得證 : 1+1=2