科西不等式細節問題

Question

科西不等式 |u．v| ≦ |u|．|v|

例題
設x,y為實數且 3x+2y=7 試求 3x平方+y平方 的最小值

然後課本上的解答說
令u向量= (更號3x,y)
令v向量= (更號3,2)

請問 u和v的向量怎麼來的
怎麼知道他們等於(更號3x,y)和(更號3,2)啊?

這一部分我看不懂...> <"

Answer 1

科西不等式 |u．v| ≦ |u|．|v|

原理: 基本上, 任意兩向量u, v的內積為 u．v = |u|*|v|*cos θ
因為 | cos θ | ≦ 1
所以 |u．v| ≦ |u|．|v|
u, v兩向量平行時<=>等號成立
若假設向量u = (a, b), v = (c,d)
則科西不等式成為(a^2+b^2)*(c^2+d^2)≧(a*c+b+d)^2的形式


現在分析例題
設x,y為實數且 3x+2y=7 試求 3x^2+y^2 的最小值

因為3x^2+y^2的樣子像柯西不等式中的某一向量
故可得知此向量為(√3x, y)
而3x+2y非平方的形式, 所以會是柯西不等式中的向量內積部分
因此,要符合(√3x, y)與某向量的內積為3x+2y,
則某向量應該為(√3, 2)

綜合上述, 套用科西不等式得
[(√3x)^2+y^2]*[(√3)^2+2^2]≧[(√3x)*(√3)+y*2]^2
即(3x^2+y^2)*(3+4)≧(3x+2y)^2
=>(3x^2+y^2)*7≧7^2
=>(3x^2+y^2)≧7
所以3x^2+y^2的最小值為7

接著看"等號成立"的情況:
當向量(√3x, y)與向量(√3, 2)平行時, 柯西不等式的等號成立
=> √3x / √3 = y / 2 (兩向量平行, 則各分量成比例)
=> y = 2x 代回原式
得3x^2+4x^2 = 7
=> 7x^2=7
=> x = 1 或 -1
當x = 1 時 y = 2
當x = -1 時 y = -2

2005-06-16 08:15:48 補充：
「則科西不等式成為(a^2+b^2)*(c^2+d^2)≧(a*c+b+d)^2的形式」

其中，(a*c+b+d)^2打錯了，不是加號，應該是乘號

更正為：
則科西不等式成為(a^2+b^2)*(c^2+d^2)≧(a*c+b*d)^2的形式