統計學，樣本平均數的抽樣分配，T分配

Question

1.樣本平均數的抽樣分配
設隨機樣本X1 X2...Xn 係自無線母体抽樣 ，則￣X的期望值、變異數 與標準誤分別為：
u ￣X = E (￣X ) = u
o2<平方> ￣X = Var (￣x) = o2(平方) /n
o ￣x = var (￣X) 開根號 = o / n開根號
式中u和o 分別為 母體的平均數與標準差，而N為母體大小，n 則為樣本大小。
＊為什麼要縮小 根號n倍???
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2.T分配
T分配的自由度為什麼是n-1 ???

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Answer 1

1.因為X bar=ΣXi/n
則X bar的變異數=V(X bar)=V(ΣXi/n)
=1/n^2*V(ΣXi)
=1/n^2*V(X1+X2+......Xn)
=1/n^2*nV(X)
=V(X)/n= σ^2 /n

X bar的標準差 = √[σ^2 /n] = σ / √n

2.因為樣本變異數S^2= Σ(Xi-X bar)^2 / (n-1) 是母體變異數σ^2的不偏估計
所以 (n-1)S^2 / σ^2 ~ X^2(n-1)
則T分配為標準常態除以卡方除上自己的自由度再開根號
Z/√[X^2(n-1)/(n-1)] ~ T(n-1)
可以推得t分配自由度也是n-1

或者說 估計一個母數
自由度就要減一
才能滿足不偏