數學~何謂待定係數法?

Question

............何謂待定係數法?舉個例吧!

Answer 1

假設你問的是工數的範疇喔^^
若有一高階ODE...ay"+by'+cy=r(x)
解答會是yh+yp
yh的算法則是令ay"+by'+cy=0..
便可以算出齊性解(yh)...因為你沒問齊性解算法...所以跳過
而yp（特解）的算法...可以分成待定係數法..參數變更法..逆算子法..積分公式法
因為你問的是待定係數法..所以要算yp時
假設r(x)=e^x
我們就得令yp=Ae^x
因為原ode為2階
所以再對yp分別做一次微分跟2次微分..
得解後再帶回原式便可以得到A的答案..
此外如果r(x)是sinx或cosx的話...
便一定得令yp=Acosx+Bsinx..再去求解..不能只令sinx或cosx
若r(x)＝多項式...例如r(x)=x..則得另yp=Ax+B..不可以缺項喔..
令yp時注意不可以跟齊性解線性相依...若是相依得乘上x才可以做喔..
還有不是任何r(x)都可以以待定係數法求解...
例如ln、tanx就不行...必須用其他方法求解...
舉個簡單例子吧...
y"-2y+y=e^-x (91中山光電）
Ans:
yh:y"-2y+y=0
m^2-2m+1=0 =>m=1,1
yh=c1e^x+c2xe^x
yp:令yp=Ae^-x
yp'=-Ae^-x
yp"=Ae^-x
代入y"-2y'+y=e^-x
Ae^-x-2(-Ae^-x)+Ae^-x=e^-x
=>4A=1 , A=1/4
故yp=1/4e^-x
y=yh+yp=c1e^x+c2xe^x+1/4e^-x

ps..建議用逆算子求yp啦...快的多....