數學歸納法

Question

利用數學歸納法證明之
1的3次方=1
2的3次方=3+5
3的3次方=7+9+11
4的3次方=13+15+17+19

Answer 1

問題這樣子証就不是用數學歸納法了

2005-04-22 08:58:53 補充：
首先先觀察第n+1項與第n項之間的關係
1
3+5............//3與1差2
7+9+11.........//7,9與3,5差4
13+15+17+19....//13,15,17與7,9,11差6

所以
第2項與第1項差 2 * 1 + 5
第3項與第2項差 4 * 2 + 11
第4項與第3項差 6 * 3 + 19
...
第n+1項與第n項差 2n*n+X_n+1

再來就是要觀察X_n+1
第2項是5是全部的數的第3個
第3項的11是全部的數的第6個
第4項的19是全部的數的第10個
所以第n+1項的X_n+1是全部的數的第1+2+3+...+n+1個
也就是第(n+1)(n+2)/2個

然後全部的數中
第1個數是1
第2個是3
第3個是5
所以第n個是2n-1
第(n+1)(n+2)/2個就是(n+1)(n+2)/2*2-1=(n+1)(n+2)-1

所以第n+1項與第n項差 n*(n-1)+X_n+1=2n*n+(n+1)(n+2)-1


接下來就可以用數學歸納法來証明
1.第1項=1=1^3 ok.
2.假設第n項=n^3是對的
則第n+1項=n^3+2n*n+(n+1)(n+2)-1
=n^3+2n^2+n^2+3n+2-1
=n^3+3n^2+3n+1
=(n+1)^3
by數學歸納法得証嚕

2005-04-25 12:24:16 補充：
我的意思是
如果直接用等差級數算和
就直接算出n^3
這樣是可以証明啦
但是沒用到數學歸納法

Answer 2

我想他的意思大概是....
先用等差級數公式算出答案....
然後再用數學歸納法證明之....
就像您的方法一樣....

Answer 3

才疏學淺，我用一個數學歸納法證不出來，這要分三個證明：
(1)第n個等式等號右邊等差級數首項是n^2-n+1。
(2)第n個等式等號右邊等差級數末項是n^2+n-1。
(3)首項為n^2-n+1，末項為n^2+n-1，公差為2的等差級數和是n^3。
概念上是這樣，現在太晚了，明天再詳答。因為你說用數學歸納法，所以我想不能用等差級數總和公式，所以才這麼麻煩，如果可以用等差級數總和公式自然就簡單得多。

2005-04-23 21:35:33 補充：
小熙說得是，所以既然dd大大先寫出來了，我就不跟他爭最佳解答的機會，反正大同小異。