商高定理(畢氏)

Question

請找出與商高(畢氏)定理有關的數學知識
如作者 證明 相關定理 或其定律發明來由
並註明其出處
或其他有名的數學定理
如:鴿籠原理 海龍公式 牛頓定理 ....等
越詳細越佳

Answer 1

海龍公式的發現者─亞歷山卓城的海龍


很明顯的，海龍是一個人名，在一些現代的書籍中，
有時會看到有人將他的名字寫為「Hero」，這主要是
因為後人的翻譯不同所導致，並不是因為他有許多匿名;
然而， 後代的我們其實對他並沒有了解很多，甚至連他
是哪一個世紀的人都不太清楚。目前的資料，我們只能夠
確定他是阿波羅尼斯之後的人，但要得到更進一步的定論，
基本上只能靠自行推論了。數學家史家伊夫斯推斷，
海龍大致上出生於西元七五年。
※順帶一提，海龍公式其實就等同於中國古代數學家，秦九韶的
秦九韶公式，其著有「九章算數」一書。


定理：海龍(Heron)公式





【證明】

A部分
在海龍公式的證明的第一步上，海龍使用了令人意想不到的
手法。首先，他作了一個三角形的內切圓。這種使用三角形內心來當作計算三角形面積的主要
要素，實在是一種令人意想不到的轉換，因為圓的特性在直覺
，和三角形這類的線性圖形並無
相關。


△ = AOB面積 = 1/2 (底) x (高) = 1/2 (AB長) x (OD長) = 1/2 cr

△ = BOC面積 = 1/2 (底) x (高) = 1/2 (BC長) x (OE長) = 1/2 ar

△ = COA面積 = 1/2 (底) x (高) = 1/2 (AC長) x (OF長) = 1/2 br

所以 K=△ABC面積=△AOB面積+△BOC面積+△COA面積，即


K = 1/2 cr+1/2 ar+1/2 br = r[(a+b+c)/2] = rs


B部分
作一個內切圓的步驟，是先由三內角的平分線開始的，
如此可將△ABC分為三個全等三角形，分別是
△AOD ~ △AOF , △BOD ~ △BOE , △COE ~ △COF

由三角形對等關係可以得知：

(AD長) = (AF長) ,(BD長) = (BE長) ,且∠COE = ∠COF

此時將三角形底邊AB延長到G點，使得(AG長) = (CE長)，


(BG長) = (BD長) + (AD長) + (AG長)
　　　 = (BD長) + (AD長) + (CE長)《作圖所得》
　　　 = 1/2 [2 x (BD長) + 2 x (AD長) + 2 x (CE長)]
　　　 = 1/2 {[(BD長) + (BE長)] + [(AD長) + (AF長)] + [(CE長) + (CF長)]}

　　　 《↑由全等關係》

　　　 = 1/2 {[(BD長) + (AD長)] + [(BE長) + (CE長)] + [(AF長) + (CF長)]}
　　　 = 1/2 [(AB長) + (BC長) + (AC長)] = 1/2 (c + a + b) = s

已知(BG長) = s，因此可導出：

s - c = (BG長) - (AB長) = (AG長)

s - b = (BG長) - (AC長)
　　=[(BD長) + (AD長) + (AG長)] - [(AF長) + (CF長)]
　　=[(BD長) + (AD長) + (CE長)] - [(AD長) + (CE長)] = (BD長)

　　　 《↑因為(AD長) = (AF長)，(AG長) = (CE長) = (CF長)》

同理，因為 (BD長) = (BE長)，(AG長) = (CE長)，

s - a = (BG長) - (BC長)
　　=[(BD長) + (AD長) + (AG長)] - [(BE長) + (CE長)]
　　=[(BD長) + (AD長) + (CE長)] - [(BD長) + (CE長)] = (AD長)



C部分
再回到圖形上，但這次加上
輔助線，作線段OL垂直於線段OB，該線並交線段AB於K點，
接著作垂直於線段AB的線段AM，其則與OL線段交於H點，
最後，連結B、H兩點，作出
BH線段。
因為四邊形AHBO是一個內接於圓的四邊形，

所以其對角之和等於兩直角之和，即 ∠AHB = ∠AOB = 兩直角

現在看看內心O點，從B部分，我們從全等關係可知它們可簡化為
三對全等的對應角，故

2α + 2β + 2γ = 四個直角　　即
α + β + γ = 兩個直角

而 β + γ = ∠AOB，α + ∠AOB = 兩個直角 = ∠AHB = ∠AOB
所以 α = ∠AHB。

--接著是重點--

因為 △COF ~ △BHA ， ∠CFO = ∠BAH = 90。，
α = ∠AHB，我們可導出下列比例：



因為(CF長) = (AG長)，且(OF長) = r。


令 * 為

之代號。

海龍發現， △KAH 和 △KDO相似，因為∠KAH = ∠KDO = 90。
所以得下列關係式：



將上式與 * 結合，得下列式子，令之為 **



已知 △KDO 和 △ODB 相似，所以



令之為 *** 。

將 ** 兩邊各加1 ，整理得到








將上式分子分母交叉相乘，得



將各式代入，得





由A部分可知，K是三角形面積，rs = K，則將 K 代入即為
海龍公式：



－－以上即為海龍公式的證明－－
最後，我們假設有個直角三角形，兩底邊分別長為b、c。
把海龍公式和廣為人知的三角形面積公式：1/2 (底)x(高) 混合
，即