整數邊直角三角形的問題

Question

有一個直角三角形，若它的其中兩邊邊長是整數，且第三邊邊長是有理數，則第三邊邊長是整數。
以上的敘述對不對？
若是對，請證明。若是錯，請舉反例。

這個問題的緣起是這樣的：直角三角形兩邊邊長是整數，第三邊可不一定是整數，例如1:1:√2，2:√21:5，但是我如果限制第三邊是有理數呢？能否進一步證明它根本就是個整數？

Answer 1

利用 整數 對於 加法, 減法 及 乘法的封閉性
整數 加 整數 = 整數
整數 減 整數 = 整數
整數 乘 整數 = 整數

假設 直角三角形的三邊長 為 a, b, c 其中二邊為整數 , 第三邊為 有理數 但不為整數
不失一般性
可令 a, b 為 二股長, c 為斜邊
且 c 為 有理數 但不為整數 (也就是 在分子與分母互質時, 分母不等於 1 的分數)

所以 a^2 + b^2 會是整數 <---- 整數 對於 加法及 乘法的封閉性
而 c^2 還是一個 有理數 但不為整數

由畢氏定理

a^2 + b^2 = c^2

一邊是 整數 , 另一邊是 分數 但不是整數

所以不會成立.

所以,
若它的其中兩邊邊長是整數，且第三邊邊長是有理數，則第三邊邊長是整數。