整數邊直角三角形的問題

Question

有一個直角三角形，它的三邊長分別為a,b,c(其中c為斜邊)，且a,b,c都是整數，則(a,b)=(b,c)=(c,a)
(a,b)代表a和b的最大公因數，其餘類推。
以上的敘述對不對？
若是對，請證明。若是錯，請舉反例。
我今天想了很久，似乎找到一個證明，可是我怕有瑕疵，又期待或許有更簡單的證法，故特來求教。

Answer 1

不失一般性我們只要証明 (a,b) = (b,c) 即可
令 (a,b) = d1 且 (b,c) = d2
則 a = d1 * a1 且 b = d1 * b1
所以 c^2 = a^2 + b^2 = d1^2 (a1^2 + b1^2)
故 d1^2 | c^2 所以 d1 | c (*)
又 d1 | b 所以 d1 | d2

同理 d2 | d1

所以 d1 = d2


PS: (*)這地方可能要查証一下

2005-04-09 04:01:21 補充：
a|b iff a^2|b^2 where a, b are integers
這點應該沒問題
我的書都不在手邊>"<

Answer 2

請看
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1005013000591

Answer 3

要證明: d1^2 | c^2 ---> d1 | c
只要用反證法即可!
也就是證明其 逆否命題

設 d1 不是 c 的因數
則 d1^2 不是 c^2 的因數

以上之推論應該是明顯的吧!!

不過, dd 的回答還是很完整的歐.

應該是 同行吧!

從 [不失一般性] 這句話 感覺的...

Answer 4

a與b都在3000以內的直角三角形有890種比例，全都是這樣，但我不知道為什麼。
a , b , c
3 , 4 , 5
5 , 12 , 13
7 , 24 , 25
8 , 15 , 17
9 , 40 , 41
11 , 60 , 61
12 , 35 , 37
13 , 84 , 85
15 , 112 , 113
16 , 63 , 65
17 , 144 , 145
19 , 180 , 181
20 , 21 , 29
20 , 99 , 101
21 , 220 , 221
23 , 264 , 265
24 , 143 , 145
25 , 312 , 313
27 , 364 , 365
28 , 45 , 53
28 , 195 , 197
29 , 420 , 421
31 , 480 , 481
32 , 255 , 257
33 , 56 , 65
33 , 544 , 545
35 , 612 , 613
36 , 77 , 85
36 , 323 , 325
37 , 684 , 685
39 , 80 , 89
39 , 760 , 761
40 , 399 , 401
41 , 840 , 841
43 , 924 , 925
44 , 117 , 125
44 , 483 , 485
45 , 1012 , 1013
47 , 1104 , 1105
48 , 55 , 73
48 , 575 , 577
49 , 1200 , 1201
51 , 140 , 149
51 , 1300 , 1301
52 , 165 , 173
52 , 675 , 677
53 , 1404 , 1405
55 , 1512 , 1513
56 , 783 , 785
57 , 176 , 185
57 , 1624 , 1625
59 , 1740 , 1741
60 , 91 , 109
60 , 221 , 229
60 , 899 , 901
61 , 1860 , 1861
63 , 1984 , 1985
64 , 1023 , 1025
65 , 72 , 97
65 , 2112 , 2113
67 , 2244 , 2245
68 , 285 , 293
68 , 1155 , 1157
69 , 260 , 269
69 , 2380 , 2381
71 , 2520 , 2521
72 , 1295 , 1297
73 , 2664 , 2665
75 , 308 , 317
75 , 2812 , 2813
76 , 357 , 365
76 , 1443 , 1445
77 , 2964 , 2965
80 , 1599 , 1601
84 , 187 , 205
84 , 437 , 445
84 , 1763 , 1765
85 , 132 , 157
87 , 416 , 425
88 , 105 , 137
88 , 1935 , 1937
92 , 525 , 533
92 , 2115 , 2117
93 , 476 , 485
95 , 168 , 193
96 , 247 , 265
96 , 2303 , 2305
100 , 621 , 629
100 , 2499 , 2501
104 , 153 , 185
104 , 2703 , 2705
105 , 208 , 233
105 , 608 , 617
108 , 725 , 733
108 , 2915 , 2917
111 , 680 , 689
115 , 252 , 277
116 , 837 , 845
119 , 120 , 169
120 , 209 , 241
120 , 391 , 409
123 , 836 , 845
124 , 957 , 965
129 , 920 , 929
132 , 475 , 493
132 , 1085 , 1093
133 , 156 , 205
135 , 352 , 377
136 , 273 , 305
140 , 171 , 221
140 , 1221 , 1229
141 , 1100 , 1109
145 , 408 , 433
147 , 1196 , 1205
148 , 1365 , 1373
152 , 345 , 377
155 , 468 , 493
156 , 667 , 685
156 , 1517 , 1525
159 , 1400 , 1409
160 , 231 , 281
161 , 240 , 289
164 , 1677 , 1685
165 , 532 , 557
165 , 1508 , 1517
168 , 425 , 457
168 , 775 , 793
172 , 1845 , 1853
175 , 288 , 337
177 , 1736 , 1745
180 , 299 , 349
180 , 2021 , 2029
183 , 1856 , 1865
184 , 513 , 545
185 , 672 , 697
188 , 2205 , 2213
189 , 340 , 389
192 , 1015 , 1033
195 , 748 , 773
195 , 2108 , 2117
196 , 2397 , 2405
200 , 609 , 641
201 , 2240 , 2249
203 , 396 , 445
204 , 253 , 325
204 , 1147 , 1165
204 , 2597 , 2605
205 , 828 , 853
207 , 224 , 305
212 , 2805 , 2813
213 , 2516 , 2525
215 , 912 , 937
216 , 713 , 745
217 , 456 , 505
219 , 2660 , 2669
220 , 459 , 509
225 , 272 , 353
228 , 325 , 397
228 , 1435 , 1453
231 , 520 , 569
231 , 2960 , 2969
232 , 825 , 857
235 , 1092 , 1117
240 , 551 , 601
240 , 1591 , 1609
245 , 1188 , 1213
248 , 945 , 977
252 , 275 , 373
255 , 1288 , 1313
259 , 660 , 709
260 , 651 , 701
261 , 380 , 461
264 , 1073 , 1105
264 , 1927 , 1945
265 , 1392 , 1417
273 , 736 , 785
276 , 493 , 565
276 , 2107 , 2125
279 , 440 , 521
280 , 351 , 449
280 , 759 , 809
280 , 1209 , 1241
285 , 1612 , 1637
287 , 816 , 865
295 , 1728 , 1753
296 , 1353 , 1385
297 , 304 , 425
300 , 589 , 661
300 , 2491 , 2509
301 , 900 , 949
305 , 1848 , 1873
308 , 435 , 533
312 , 1505 , 1537
312 , 2695 , 2713
315 , 572 , 653
315 , 988 , 1037
315 , 1972 , 1997
319 , 360 , 481
320 , 999 , 1049
328 , 1665 , 1697
329 , 1080 , 1129
333 , 644 , 725
335 , 2232 , 2257
336 , 377 , 505
336 , 527 , 625
340 , 1131 , 1181
341 , 420 , 541
344 , 1833 , 1865
345 , 2368 , 2393
348 , 805 , 877
355 , 2508 , 2533
357 , 1276 , 1325
360 , 1271 , 1321
360 , 2009 , 2041
364 , 627 , 725
365 , 2652 , 2677
368 , 465 , 593
369 , 800 , 881
371 , 1380 , 1429
372 , 925 , 997
376 , 2193 , 2225
380 , 1419 , 1469
385 , 552 , 673
385 , 1488 , 1537
385 , 2952 , 2977
387 , 884 , 965
392 , 2385 , 2417
396 , 403 , 565
399 , 1600 , 1649
400 , 561 , 689
407 , 624 , 745
408 , 2585 , 2617
413 , 1716 , 1765
420 , 851 , 949
420 , 1189 , 1261
420 , 1739 , 1789
423 , 1064 , 1145
424 , 2793 , 2825
427 , 1836 , 1885
429 , 460 , 629
429 , 700 , 821
432 , 665 , 793
440 , 1911 , 1961
441 , 1160 , 1241
444 , 1333 , 1405
448 , 975 , 1073
451 , 780 , 901
455 , 528 , 697
455 , 2088 , 2137
460 , 2091 , 2141
464 , 777 , 905
468 , 595 , 757
469 , 2220 , 2269
473 , 864 , 985
476 , 1107 , 1205
477 , 1364 , 1445
480 , 2279 , 2329
481 , 600 , 769
483 , 2356 , 2405
492 , 1645 , 1717
495 , 952 , 1073
495 , 1472 , 1553
496 , 897 , 1025
497 , 2496 , 2545
504 , 703 , 865
504 , 1247 , 1345
511 , 2640 , 2689
516 , 1813 , 1885
517 , 1044 , 1165
520 , 2679 , 2729
525 , 2788 , 2837
528 , 1025 , 1153
531 , 1700 , 1781
532 , 1395 , 1493
533 , 756 , 925
539 , 1140 , 1261
540 , 629 , 829
540 , 2891 , 2941
549 , 1820 , 1901
555 , 572 , 797
559 , 840 , 1009
560 , 1161 , 1289
560 , 1551 , 1649
561 , 1240 , 1361
564 , 2173 , 2245
576 , 943 , 1105
580 , 741 , 941
583 , 1344 , 1465
585 , 928 , 1097
585 , 2072 , 2153
588 , 2365 , 2437
592 , 1305 , 1433
603 , 2204 , 2285
611 , 1020 , 1189
612 , 1075 , 1237
615 , 728 , 953
616 , 663 , 905
616 , 1887 , 1985
620 , 861 , 1061
624 , 1457 , 1585
627 , 1564 , 1685
636 , 2773 , 2845
637 , 1116 , 1285
639 , 2480 , 2561
644 , 2067 , 2165
645 , 812 , 1037
649 , 1680 , 1801
656 , 1617 , 1745
657 , 2624 , 2705
660 , 779 , 1021
660 , 989 , 1189
660 , 2989 , 3061
663 , 1216 , 1385
671 , 1800 , 1921
672 , 2255 , 2353
684 , 1363 , 1525
688 , 1785 , 1913
689 , 1320 , 1489
693 , 1924 , 2045
693 , 2924 , 3005
696 , 697 , 985
700 , 2451 , 2549
704 , 903 , 1145
705 , 992 , 1217
715 , 1428 , 1597
715 , 2052 , 2173
720 , 1519 , 1681
720 , 1961 , 2089
728 , 2655 , 2753
731 , 780 , 1069
735 , 1088 , 1313
737 , 2184 , 2305
740 , 1269 , 1469
741 , 1540 , 1709
744 , 817 , 1105
748 , 1035 , 1277
752 , 2145 , 2273
756 , 2867 , 2965
759 , 2320 , 2441
765 , 868 , 1157
767 , 1656 , 1825
780 , 1421 , 1621
781 , 2460 , 2581
784 , 2337 , 2465
792 , 1175 , 1417
792 , 1855 , 2017
793 , 1776 , 1945
795 , 1292 , 1517
799 , 960 , 1249
803 , 2604 , 2725
816 , 2537 , 2665
819 , 1900 , 2069
820 , 1581 , 1781
825 , 2752 , 2873
828 , 2035 , 2197
832 , 855 , 1193
833 , 1056 , 1345
836 , 1323 , 1565
840 , 1081 , 1369
848 , 2745 , 2873
860 , 1749 , 1949
871 , 2160 , 2329
880 , 1479 , 1721
880 , 2961 , 3089
884 , 987 , 1325
885 , 1628 , 1853
888 , 1225 , 1513
893 , 924 , 1285
897 , 2296 , 2465
900 , 2419 , 2581
901 , 1260 , 1549
915 , 1748 , 1973
923 , 2436 , 2605
924 , 1643 , 1885
931 , 1020 , 1381
935 , 1368 , 1657
936 , 1127 , 1465
936 , 2623 , 2785
940 , 2109 , 2309
949 , 2580 , 2749
969 , 1120 , 1481
969 , 1480 , 1769
975 , 2728 , 2897
980 , 2301 , 2501
984 , 1537 , 1825
988 , 1275 , 1613
1001 , 2880 , 3049
1003 , 1596 , 1885
1005 , 2132 , 2357
1007 , 1224 , 1585
1012 , 1995 , 2237
1020 , 2501 , 2701
1032 , 1705 , 1993
1036 , 1173 , 1565
1037 , 1716 , 2005
1040 , 1431 , 1769
1045 , 1332 , 1693
1056 , 2183 , 2425
1060 , 2709 , 2909
1065 , 2408 , 2633
1071 , 1840 , 2129
1092 , 1325 , 1717
1092 , 1595 , 1933
1095 , 2552 , 2777
1100 , 2379 , 2621
1105 , 1968 , 2257
1113 , 1184 , 1625
1121 , 1560 , 1921
1128 , 2065 , 2353
1139 , 2100 , 2389
1140 , 1219 , 1669
1144 , 1767 , 2105
1144 , 2583 , 2825
1148 , 1485 , 1877
1155 , 1292 , 1733
1155 , 2852 , 3077
1159 , 1680 , 2041
1173 , 2236 , 2525
1176 , 2257 , 2545
1188 , 2795 , 3037
1196 , 1947 , 2285
1197 , 1804 , 2165
1204 , 1653 , 2045
1207 , 2376 , 2665
1235 , 1932 , 2293
1239 , 1520 , 1961
1241 , 2520 , 2809
1248 , 1265 , 1777
1248 , 2135 , 2473
1260 , 1829 , 2221
1272 , 2665 , 2953
1273 , 2064 , 2425
1275 , 2668 , 2957
1281 , 1640 , 2081
1300 , 2331 , 2669
1309 , 2820 , 3109
1311 , 1360 , 1889
1311 , 2200 , 2561
1312 , 1425 , 1937
1316 , 2013 , 2405
1320 , 1711 , 2161
1320 , 2881 , 3169
1343 , 2976 , 3265
1349 , 2340 , 2701
1357 , 1476 , 2005
1365 , 1892 , 2333
1376 , 1593 , 2105
1380 , 1891 , 2341
1387 , 2484 , 2845
1403 , 1596 , 2125
1404 , 2747 , 3085
1407 , 2024 , 2465
1425 , 2632 , 2993
1428 , 1475 , 2053
1428 , 2405 , 2797
1440 , 1769 , 2281
1449 , 1720 , 2249
1456 , 2967 , 3305
1463 , 2784 , 3145
1484 , 2613 , 3005
1491 , 2300 , 2741
1495 , 1848 , 2377
1496 , 1647 , 2225
1501 , 2940 , 3301
1504 , 1953 , 2465
1525 , 1548 , 2173
1533 , 2444 , 2885
1540 , 2829 , 3221
1541 , 1980 , 2509
1560 , 2479 , 2929
1564 , 1827 , 2405
1568 , 2145 , 2657
1575 , 1672 , 2297
1632 , 2015 , 2593
1632 , 2345 , 2857
1633 , 2256 , 2785
1659 , 2900 , 3341
1675 , 1932 , 2557
1679 , 2400 , 2929
1680 , 2911 , 3361
1692 , 1885 , 2533
1696 , 2553 , 3065
1700 , 2211 , 2789
1725 , 2068 , 2693
1725 , 2548 , 3077
1748 , 1755 , 2477
1760 , 2769 , 3281
1764 , 2077 , 2725
1768 , 2415 , 2993
1771 , 2700 , 3229
1775 , 2208 , 2833
1809 , 1880 , 2609
1817 , 2856 , 3385
1824 , 1943 , 2665
1824 , 2993 , 3505
1825 , 2352 , 2977
1836 , 2627 , 3205
1900 , 2139 , 2861
1904 , 2847 , 3425
1908 , 2485 , 3133
1917 , 2156 , 2885
1925 , 2652 , 3277
1960 , 2001 , 2801
1971 , 2300 , 3029
1975 , 2808 , 3433
1976 , 2343 , 3065
1980 , 2701 , 3349
2025 , 2968 , 3593
2040 , 2201 , 3001
2052 , 2555 , 3277
2059 , 2100 , 2941
2079 , 2600 , 3329
2117 , 2244 , 3085
2120 , 2409 , 3209
2128 , 2775 , 3497
2133 , 2756 , 3485
2175 , 2392 , 3233
2184 , 2263 , 3145
2233 , 2544 , 3385
2280 , 2849 , 3649
2291 , 2700 , 3541
2325 , 2332 , 3293
2349 , 2860 , 3701
2387 , 2484 , 3445
2436 , 2923 , 3805
2449 , 2640 , 3601
2508 , 2765 , 3733
2511 , 2800 , 3761
2573 , 2964 , 3925
2576 , 2607 , 3665
2596 , 2997 , 3965
2668 , 2835 , 3893
2739 , 2900 , 3989
2832 , 2905 , 4057

Answer 5

可是，整數邊直角三角形三邊比又不一定是3:4:5和5:12:13，還有20:21:29，13:84:85，9:40:41，以及其他無限多種，如何證明這"無限多種"都符合呢？

2005-04-09 03:12:52 補充：
dd先生(或小姐)：
太強了，跟我想的一樣，不過當初我也是卡在(*)那裡。
後來我是這樣想，假設(d1,c)=k 且k≠d1
令d1=km 且 c=kn (m,n)=1
(因為k≠d1，因此m≠1)
則c/d1=n/m
(c^2)/(d1^2)=(n^2)/(m^2)
等號右邊不為整數，因為根據算術基本定理，互質的兩數同時平方仍然互質，互不為對方之倍數(除非其中一數是1)，這就是說，
c^2不為d1^2之倍數，這與已知矛盾，
故(d1,c)=d1 即d1 | c

Answer 6

對~
1.假設邊長a=3.b=4.c=5(皆為整數)
(3，4)=(4，5)=(5，3)=1
2.假設邊長a=6.b=8.c=10(皆為整數)
(6，8)=(8，10)=(10，6)=2
3.假設邊長a=5.b=12.c=13(皆為整數)
(5，12)=(12，13)=(13，5)=1

由1.2.3.的假設得知
一個直角三角形，它的三邊長分別為a,b,c(其中c為斜邊)，且a,b,c都是整數，
則(a,b)=(b,c)=(c,a)
(a,b)代表a和b的最大公因數
故得證上式為真