何謂“畢氏定理”？

Question

何謂“畢氏定理”？

Answer 1

『a2 + b2 = c2』這就是希臘學者畢達哥拉斯(Pythagoras)最著名的發現：『畢氏定理』(Pythagoras' Theorem，即『商高定理』、『勾股定理』)。本定理說明了直角三角形三邊的關係：『斜邊的平方等於另外兩邊的平方之和。』由於證明『畢氏定理』的方法太多，本人祇舉我國在三國時期的兩個例子，以茲參考。

趙爽，三國時期吳國數學家，為《周髀算經》作注。他在《周髀算經注》中，注釋了『勾股定理』。他寫了一篇『勾股圓方圖說』，並附上『弦圖』乙幅〔見圖〕，對『勾股定理』作出了證明：
以弦為邊作一正方形，其面積名為『弦實』。在那正方形內作四個直角三角形，塗以朱紅色，其面積名為『朱實』。中央的小正方形，塗以黃色，其面積稱為『黃實』。而小正方形的邊長等於股、勾之差。但『弦實』等於四個『朱實』及『黃實』之和。於是便得出：
弦2 = 4．[0.5(勾．股)] + (股－勾)2
弦2 = 2(勾．股) + 股2 － 2(勾．股) + 勾2
弦2 = 勾2 + 股2

Answer 2

古中國
在中國的古書中，畢氏定理又被稱為「勾股弦定理」。「勾股弦」這三個字是從正三角三個邊的名字而來：「勾」是較短的股；「股」是較長的股；而「弦」指的是斜邊。中國的勾股法是被用來發現 天文和測量地理。根據另外一本具象徵性 的古中國數學經典─周髀算經的記載， 早在中國朝代的初期(約西元前2100年)， 中國數學家就給了勾股弦定理中3-4-5 三角形這個特例證明。 在九章算數的「勾股章」中，共有24個問題，被分為兩部分，第一部分著重在以勾股弦定理為中心，有關直角三角形的運算，而第二部分是勾股測量的相關問題。在劉輝為九章算數所作的注中，清楚的記載勾股從容補理論到比例理論的發展過程，而且完整又嚴格地解釋勾股弦定理的理論系統。以下將著重在劉輝所提出勾股弦定理的證明。 劉輝利用一個已知兩股為3，4的直角三角形，欲求其斜邊長的題目為引導，進而一般化且證明了勾股弦定理。他的證明大致如下： (1) 選擇一任意直角三角形 (2) 製造兩個邊長各是勾與股的正方形 (3) 將這兩個正方形並排放置好 (4) 將這兩個正方形分為一個邊長為 (股-勾)的正方形與四個直角三角形。 我們不難發現這四個三角形皆與 原三角形全等，如圖一所示。 (5) 將靠外側的兩個直角三角形移至 以弦為邊的正方形內，如圖二所示。 (6) 我們可以得到一個完整的弦-正方形， 而且證明了(勾)^2+(股)^2=(弦)^2。 事實上，以上的兩個圖包含了另一個重要的勾-股-弦關係： (弦)^2=2(勾股乘積)+(勾股之差)^2。


古巴比倫
一項已被證明的說法指出， 古巴比倫的幾何圖形式被用來 占卜的。人們對於畢氏定理 的巴比倫證法(被稱為「兩倍 正方形」法)的了解最詳細是 來自於被珍藏於大英博物館中的。 對於 的猜設如下： 假設一個人想要製造一個兩倍於一已知正方形的正方形，他會怎麼做？他可能會把已知正方形的邊長兩倍，但他很快就會了解這麼做事實上是把正方形的面積放大了4倍。如果他觀察這個被放大了4倍的正方形，他可能會為了畫那4個已知正方形的對角線而連接大正方形各邊的中點。因為這些對角線能把這四個正方形切成一半，於是他便製造了一個兩倍於原已知正方形的正方形。另外，這麼做製造了一個較小的正方形位於已被4倍的正方形的中央，且有4個全等的直角三角形位於四周。其中，此較小正方形的邊長恰好是周圍直角三角形的斜邊。所以，結論是以任河直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積，會等於以兩股為邊的正方形面積的和。這就是畢氏定理。 到目前為止，我們不難發現，雖然巴比倫證法是連接大正方形的中點來製造兩股相等的直角三角形，但只要我們旋轉中間以斜邊為邊的正方形，且保持此正方形的頂點在大正方形的邊上，也就是說，我們不把中央的正方形局限於是大正方形的一半，我們仍然可以得到與劉輝的證明一樣的圖形。



古埃及
數學家們是從 上的幾何問題開始研究埃及的幾何。在解釋埃及有關於畢氏定理的紀錄的文獻中，Cantor的解釋是最重要的之一。埃及人運用「繩索- 」來測量方向。再加上其他的線索，Cantor 的結論是，埃及人利用直角來決定廟宇的方位。他們的方法是，將一條繩子繞過三支釘子形成一個三角形，且使得三邊的長為3：4：5。其中一股的方位對準南北線，則另一股便會對準東西線。而這東西線就正是建造廟宇的方位。根據柏林博物館中皮革檔案，「 」出現在 時期的早期。如果Cantor 的解釋是正確的，埃及人早在西元前2000年便已熟悉直角三角形中眾所皆知的3：4：5的特例。而若果真如此，那我們說「畢氏定理的埃及紀錄」就不是正確的，因為畢達哥拉斯是生活在西元前500年的人啊。埃及人發現畢氏定理的年代比畢達哥拉斯生活的年代早太多了。



古希臘：畢達哥拉斯與他的定理
畢達哥拉斯出生於賽默斯，在埃及求學，後來又返回希臘。就畢達哥拉斯本身而言，總是被人們把他與直角三角形中眾所皆知的性質連在一起。然而，畢達哥拉斯所提出的證明卻沒有流傳下來給我們。(事實上，他並沒有留下數學文獻) Cantor 認為早期的證明包含了特例的考量，像是等腰直角三角形的狀況就可能經由如右圖相連的圖形被證明。最下方4個三角形的面積和等於上方4個三角形的面積和。這就導出了畢氏定理。然而，畢氏定理的一般化證明是被歐基理德所提出的。他的證明的基礎是先證明 然後因為 我們可以得到 所以，畢氏定理被完整的證明了。