超難無窮級數數學問題，強者只得救我！（20點）

Question

下面有三個級數：
lim,n->無限大（1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n）
lim,n->無限大（1/1+1/2+1/4+1/5+1/6+...+1/n）(有3必跳過，ex：3，13，31，300)
lim,n->無限大（1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13...+1/n）(只有質數)
結果是：
第一個級數發散！
第二個級數收斂！
第三個級數發散！
試問為什麼？我實在是毫無頭緒啊！
請給出證明，謝謝！

有關於第一個證明我已經找到了，如下：
(1/1+1/2)+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+...+1/16)+...
>(1/1+1/2)+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+(1/16+...+1/16)
=1+1/2+1/2+1/2+1/2+...
有無窮項1/2
所以發散
不過你還真是個強者

恩...
我現在只是高中學生，如果盡可能的話，希望可以給出我可以看的懂的解法，總之就是盡量簡單啦，謝謝！

追加！
如果分母是斐波那契數列呢？
麻煩一併解決，謝謝！！

Answer 1

第一個你在一般微積分的教科書都可找到(如要證明請再跟我說),我就只證第二與第三個命題.
lim,n->無限大（1/1+1/2+1/4+1/5+1/6+...+1/n）(有3必跳過，ex：3，13，31，300)
你可以將這個級數分群(第一個命題其實也是這樣證)我把他分成
(1/1+1/2+1/4+...+1/9) + (1/10+...1/99) + (1/100+...1/999) + ((1/10)^(n-1)+...+1/(10^n-1)
接著在1/1+1/2+1/4+...+1/9中因為少了1/3且和必小於 9/1, (1/10+...1/99) < 9^2/10 (你可以把逢3就拿掉便可推出),且(1/100+...1/999) < 9^3/100,你可以發現到
(1/1...+1/9) + (1/10+...1/99) + (1/100+...1/999).... < 9/1 +9*(9/10) +9*(9/10)^2+....
右邊剛好是一個公比小於1的等比級數(收歛),又本命題級數小於他,故本命題收斂.

第三個稍微難一點我是用歸謬去證他,主要是質數並沒有規律性,先假設本命題收斂,即 lim,n->無限大（1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13...+1/p） < K ,你可利用泰勒級數展開得 -ln(1-x) = x + x^2/2 + x^3/3+... ,且|x|<1,接著將x代入1/2 ,1/3,1/5,可以發現
-ln(1 - 1/2) < 2/2 , -ln(1 - 1/3) < 2/3, -ln(1 - 1/5) < 2/5...-ln(1 - 1/p) < 2/p(p為質數),這個你可以自己證證看,接著將其相加,即 (-ln(1 - 1/2)) + (-ln(1 - 1/3))+(-ln(1 - 1/5))+...(-ln(1 - 1/p) ) < 2/2 +2/3 +2/5+...+2/p
-ln((1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/p)) <2*(1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13...+1/p)<2K----(1)
=> (1 - 1/2)*(1 - 1/3)*(1 - 1/5)*(1 - 1/p) > exp(-2K) 令K1 = exp(2K),並取倒數,
(1 - 1/2)^(-1) * (1 - 1/3)^(-1) * (1 - 1/5)^(-1) * (1 - 1/p)(-1) < K1 ,因為(1-x)^(-1) = 1+x+x^2+... 所以 (1+1/2+1/4+...)(1+1/3+1/9+...)(1+1/p+(1/p)^2+...) < K1 -----------(2), 左邊的乘開後必有1/1 +1/2 +1/3 +1/4 +1/5+....1/n (根據算術基本定理)即為第一個命題,其結果發散,因此(2)是矛盾,即 (1)式中(1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13...+1/p) < K為假,故本級數發散 證完.
第三個命題我還有別的證法只不過比這個難懂且較複雜,所以我就不附上了!!
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不好意思這幾天出遊,今天才能回答你,如果你是高中生第二個命題應該是看的懂,
第三個命題中的-ln(1-x) = x + x^2/2 + x^3/3+... ,且|x|<1,你先把他看成是個"公式",
ln(1-x)是指對(1-x)取自然對數,而且我還沒想到更簡單的方法,至於如果分母是斐波那契數列的話,也就是
1/1+1/1+1/2+1/3+1/5+1/8+1/13+....+1/F(n-2)+1/F(n-1)+1/F(n)...
其中F(n)=F(n-1)+F(n-2) n>=3 F(1)=1,F(2)=1
這個命題我用比例檢驗(ratio test)的方法來做,你在每一本微積分的教科書中都可找到,即 lim,n->無限大|a_(n+1)/a_n | <1 ,(就是後項與前項的比值小於1),則級數收斂, 第一個命題也可用著個方法來檢驗,如果需要證明在告訴我,接著我用了一個事實,lim,n->無限大F(n-2)/F(n-1)=F(n-1)/F(n)=(根號(5)-1)/2-------(1) ,即為黃金分割數,可以簡單的驗證一下,F(n-2)/F(n-1)=F(n-1)/F(n)=r,則F(n-1)/F(n-2)=F(n)/F(n-1)=1/r----(2),又F(n)/F(n-1)=(F(n-1)+F(n-2))/F(n-1)=1+F(n-2)/F(n-1)=1+r,因此(2)式變成1+r=1/r即可求出r為(1)式中的值,根據ratio test
lim,n->無限大 | 1/F(n) / 1/F(n-1) | =lim,n->無限大 | F(n-1) / F(n) | <1 (由(1)式得知),因此本命題為"收斂"!!

Answer 2

真是奇怪…
第三個級數明明比第二個級數巛
為什麼會這樣呢…
有一個命題是關於這一個質數與下一個質數間隔的範圍(沒記錯的話)
就算不管這個命題，質數愈大間隔也會變大這是事實
怎麼會比第二個級數還要大呢？

Answer 3

第二個級數收斂！
第三個級數發散！
這個很特別

Answer 4

這個前幾天有看過，好像這一系列的題目有個名稱......
證明我不知道，不過這種數列的收斂，我們不一定能球出收斂的數值。

Answer 5

為什麼我覺得三個都發散呢....

Answer 6

太艱難了.....
我心有餘力而不足啊....
硬著頭皮去問老師吧...