有關微積分

Question

請問一下微積分之父真的是牛頓嗎???

Answer 1

17世紀後期兩個偉大的數學家終於把微分和積分整合在一起，而微積分就誕生了。這兩位分別是牛頓和來布尼茲。

牛頓 (Newton, 1642-1727) 最著名的的成就當然是發現地心引力。做為一個物理學家，他對速度的變化較有興趣，所以他是以研究微分為出發點的。在1666年時為了解決某個問題，牛頓用到了「反微分」的觀念，並用這個做法來找曲線定義的面積，其實他的反微分就是積分。他並且十分清楚的陳述出了「微積分基本定理」。這個定理是說若將一個函數 f(x) 積分再微分後，其結果還是 f(x)；而若將 f(x) 微分再積分，則會是 f(x)+c，與 f(x) 所差的只是一個常數。換句話說，積分和微分正好是彼此的反運算。這個定理整合了微分和積分，也奠定了我們今天所謂微積分的基礎。

雖然牛頓的結果 (Analysis with Infinite Series) 在1669年就寫好了。這本書一直到1711年才發表，在這段時間他的結果在歐洲以手稿的方式在知識界流傳，他的結果可能直接或間接影響到下一位微積分史上的重要人物來布尼茲。

來布尼茲 (Leibnitz, 1946-1712) 的出發點與牛頓不太一樣。他是從解析的觀點把一個變數的domain看做一群無限彼此靠近的點的集合，他也導出與牛頓相似的微積分基本定理。來布尼茲在選擇符號上非常小心 (這點是與牛頓大不相同的)，所以我們今天在微積分裡的符號大部份是沿用他的，也奠定了他與牛頓分享微積分之父的名號。而微積分 (calculus) 這個名詞也是來布尼茲取的。1684年他將他的 (積分) 結果用 "Calculus Summatorius" 之名發表，1690年另一位偉大數學家 Jacob Bernoulli 建議改成 calculus 即可，如此沿用至今。

Answer 2

me''君的敘述比較簡單明瞭,
諸葛boss君的回答好像科學史,真詳盡啊.
兩個人的回答都很好,讓我又長知識了

Answer 3

上面兩個人的回答都好多!!!

Answer 4

《古希臘時代》 　　大家都知道「積分」的源頭是來自於面積的計算。西元前430年左右，希臘的希波克拉特(Hippocrates)證明了兩個圓的面積比等於其直徑的平方比。他所用的方法是用相似的多邊形內接於兩圓中，然後不斷的增加邊數以窮盡圓的面積而導出。差不多同時的安蒂豐(Antiphon)將這樣的方法叫著『窮盡法』並用它來解決有名的「化圓為方」的問題，他的結論雖然是錯誤的，但是作為近代數學基石的『極限』觀念及『積分』就已經孕育了。　然而，希臘人是盡可能避免使用類似『無窮小』或是n→∞這樣的模糊觀念。為了要證明或是解釋圓面積與內接n邊形面積之間的差距，在n足夠大的時候，能夠隨心所欲的小，西元前400左右的尤多瑟士(Eudoxus)提出了下面的命題：　兩個不等的給定量，若從大者減去超過其半的一個量，再從餘量中 減去超過其半的一個量，這種程序繼續不斷下去，到某階段餘量會小於原給兩量中之小者。　　他利用這個原理嚴謹的證明了：兩圓面積之比等於其半徑平方之比；圓椎體的體積為同底同高的圓柱體體積的1/3等的幾何定理。尤多瑟士以此明確的公理為依據進行演繹推理，大大的推廣了『窮盡法』的應用。值得注意的是，後來柯西(Cauchy)及魏而士查士(Weierstrass)所奠定的現代極限觀念與尤多瑟士的想法是多麼的接近；這個在古希臘時代就播種下的種子，西方的數學家們是花了將近兩千年的時間才使之開花結果。　但是真正將『窮盡法』用得出神入化的則是阿基米德。公元前250年左右的阿基米德，不僅是古代世界中最偉大的數學家，他還與17世紀的牛頓(Newton)及19世紀的高斯(Gauss)並列為古往今來最偉大的三個數學家。他計算了很多面積和體積，比如他巧妙的利用一種別出心裁的無窮分割，證明了“拋物線和一直線所圍的弓行面積是其同底同高的三角形面積的4/3倍”。他以手頭上有的那一點數學工具，而能得到很大的成就，將永遠是數學史上一個偉大的里程碑。　　最後，我們提一下阿波洛尼爾斯(Apollonius)。他寫了一部巨著《圓錐曲線論》，幾乎將圓錐曲線的性質網羅殆盡。這部巨著對於17世紀的數學家產生了深遠的影響，費瑪(Fermat)就於1637年受到啟發而發現了「解析幾何」，為「微積分」的發展做了奠基的工作。　公元前384年生於斯塔基爾(Stageira)公元前322年卒於雅典。機械學(力學)、物理學、數學、邏輯學、氣象學、植物學、心理學、動物學、倫理學、文學、形而上學、經濟學。前牛頓，萊布尼茲時期》　阿基米德及阿波洛尼爾斯之後，西歐進入了一段漫長的黑暗時期，整個數學的發展一直要到16世紀才有翻身之日。這時在求積的問題上產生了一套在邏輯上雖然基礎薄弱，但是計算上卻強而有力的“無窮小方法”。“無窮小方法”的代表性人物是公元1600年左右的凱卜勒(Kepler)及蓋瓦里爾(Cavalieri)。凱卜勒和蓋瓦里爾計算面積或體積的方法都是將給定的幾何圖形分成無窮多個無窮小的圖形，再用特定的方法加起來。蓋瓦里爾得到了相當於後來微積分中的公式，不過他的辦法只能求到n=9。　差不多同時代，笛卡爾(Descartes)及費瑪發明了解析幾何，從此數學中兩個研究對象“形”與“數“統一起來，並在數學中引入“變量”的觀念，這是一項畫時代的變革，同時也是微積分所需要的最重要的一塊基石。費瑪利用橫座標的分割，將蓋瓦里爾的方法予以具體化，這已與我們在現在的微積分課本中所看到的完全一樣了。　這時候科學已日趨進步，除了求積的問題外，數學家還考慮一些其他的問題，其中最重要的有：運動的速度和距離的關係以及曲線的切線問題。逐漸的，人們開始明瞭這兩個問題事實上是同一個問題，而更意外的是，它們與求積的問題居然有很密切的關係。　最早在運動的問題上做出貢獻的是14世紀法國的奧里梅（Oresme），他用一種很原始的座標方法得到了等加速度的問題的速度與距離關係公式，其實已經是“微積分基本定理”的雛形了，他的工作對於後世的伽利略(Galilei)及笛卡爾都有深刻的影響。　　切線問題雖然誕生較晚，不過它卻是一個較為容易解決的問題，1635年之後，一些求切線的方法迅速的被摸索出來了。笛卡爾的方法是利用重根法先找曲線的法線，從而得到切線。他的想法比較曲折，屬於代數的性質而沒有用到極限的觀念。費瑪求切線的方法就比較直接而與現在的導數方法相差無幾了。他考慮曲線上極靠近的兩點，利用相似三角形的性質得到切線與橫軸的交點。他假設所選的兩點距離e非常小，因此計算時，有時就將之看成是零而任意丟掉，但有時又把它當作除數來使用；這種對於無窮小的曖昧行為，在當時是頗具爭議的，但是卻能夠得到正確的結果。當然，在極限及導數有了嚴格的定義的今天再去看費瑪的工作，一切已是昭然若揭了。托里切利(Torricelli)及羅伯瓦（Roberval）則將曲線看成是質點的運動，而切線是動點的瞬間運動方向，這種將切線與瞬間速度等同的看法，是日後牛頓流算數的先聲。牛頓的老師巴羅(Barrow)則將費瑪的方法更推進一步，他將曲線上一點P之切線視為割線PQ當Q沿著曲線接近P的極限位置。他的著作“幾何講稿”中所討論的都是切線及求積的問題，同時他對於這兩者之間的互逆性也有明顯的陳述，可惜的是他本人並沒有認識它的重要性。他的工作則由他的學生牛頓來發揚光大。
凱卜勒(Kepler) 德國天文學家、物理學家、數學家。1571年12月27日生於施塔特的魏爾，1630年11月15日卒於雷根斯堡。在數學上他是早期微積分的先驅者之一，在《酒 桶新立體幾何》（1615）中引入無窮大和無窮小概念，指出：「圓是由無數個頂點在圓心的三角形構成的，圓周是由這些三角形的無窮小的底邊構成」，並用同樣道理闡明了立體構成說，討 論了90多種各類體積問題。《牛頓及萊布尼茲(Leibniz)》 　微分的技巧到了牛頓及萊布尼茲手上更得到了有系統的發展，他們建立了一些很有用的公式，使微分及切線的運算變得很簡易。不僅如此，更重要的是，他們明確的認識到微分和積分的密切關係而得到了「微積分基本定理」。如此一來，求積的問題就變成了求變化率問題的反運算，而有了革命性的突破。牛頓及萊布尼茲將這兩種表面上看起來毫不相關的極限緊密的聯繫起來的工作，可以看成是數學史上最偉大的成就，他們二人也理所當然的被視為「微積分」的發明者。
萊布尼茲 1646年7月1日生於德國萊比錫(Leipzig)；1716年11月l4日卒於德國漢諾威(Hanover)。 我有那麼多的想法，如果那些比我更敏銳的人有一天深入到它們之中，把他們絕妙的見解同我的努力結合起來的話，它們或許有些用處。PS:不知道這樣子答案滿不滿意,如果不滿意我可以再補充.