數學問題®...2次微分

Question

假如
一次微分f'(x)=ax²+bx+c=0,可得區間的極大極小x值
二次微分f"(x)=px+q,代入一次微分的極大極小x值,>0則為區間極小值,<0則為區間極大值
請問=0時,該點是什麼值?
※最好可以附加證明

舉例:
f(x)=x³-3x+1
f'(x)=3x²-3=0→x=±1
f"(x)=6x
x=1代入f"(x)=6...極小值
x=-1代入f"(x)=-6...極大值
若f"(x)=0.......x是什麼值?

抱歉...可能我的舉例不恰當,使大家誤會了
我的意思是,如果f'(x)=0,所得的x解,代入f"(x),結果=0時,那該怎麼解釋x值?

Answer 1

我舉個例子：f(x)=(x-1)^3 ------>f'(x)=3(x-1)^2, f"(x)=6(x-1)
也就是f'(1)=0且f"(1)=0，我們會說(1,0)是f(x)的反曲點。
其實反曲點的1階微分皆為0！！

也許你會覺得反曲點並不是區間的極值，其實你可以降想想......
如果在反曲點將函數圖形對切，你會發現分開看時，對兩邊而言他都是極值。
而且一邊極大，另一邊極小。

其實微分的觀念就是將分析的東西細分許多區間，
再將小的區間放大來看而已。
因為在轉彎處會產生1階微分為0的點，
而轉彎處往往是區間的極值，所以才會如此定義。

但為了避免找到的彎點是『反曲點』，所以得加定一項f"(x)
大於0，彎向上，區間極小值；
小於0，彎向下，區間極大值；
等於0者，便是反曲點。
注意！！反曲點的定義便是f'(x)=0;f"(x)=0的點。

Answer 2

請問路人甲...
f'(X)=0處有相對極值為X=h
f''(h)=0處,你還是認為X=h是反曲點嗎?

Answer 3

微分應用
1. f'(a)表在點( a , f(a) )切線之斜率
2. f'(X)=0處有相對極值
3. f''(h)=0處有反曲點( h , f(h) )

2005-03-06 01:46:22 補充：
f'(x),f"(x)有同解
所以因該還是反曲點吧
我只知道這樣