請問什麼是超越數?

Question

請問什麼是超越數?
該如何定義啊?
到底是什麼ㄋ

Answer 1

Lindemann 將 Hermite 的定理利用代數的方法很自然地推廣而得到如下之結論：
定理：

e 不能滿足以代數數作係數或指數的多項式方程式，亦即
其中 C0,C1,…,Cn（不全為 0），k1,…,kn（非零且相異）均為代數數。
利用這定理，Lindemann 導出了下一重大的結果： 系： π 是超越數。

證明：
若 π 為代數數，則 是代數數，而 Euler 恆等式 就和定理矛盾了。
π 為超越數這事實，解決了四千年來人們企盼的「方圓問題」之一否定的解答。「方圓問題」是古希臘時代遺留下來很久以來一直未能解決的三大作圖問題之一（其他兩個是倍立方問題及三等分角問題，這三個問題都在十九世紀被解決了，有興趣的讀者可參考 Klein 所著《著名的幾何問題》一書，商務書局有中譯本）。問題是能否以直尺及圓規做出等面積的一正方形與一圓？今假定正方形的邊長為單位長而圓之半徑為 r 則有 ，由於尺規只能做出特殊一類的代數數，絕不可能做出超越數，故 r2 為代數數而由系知 為超越數，故 亦為超越數，這就和等式 矛盾了。Lindemann 即以解決「方圓問題」而在歷史上留芳百世。Lindemann 定理的內涵可以由下列兩個曲線的幾何圖形來體會：


(1) y=ex（即 ）
若 x 為代數數 () 則由 Lindemann 定理知 y 為超越數；反之，若 y 為代數數 () 則 x 為超越數。換句話說 x 與 y 不能同時為代數數（x=0,y=1 是唯一的例外）。以圖形來看就相當於指數曲線 y=ex 及對數曲線 不通過任何的代數點（注意我們的 x 與 y 均為複變數，所謂代數點是指座標 x 與 y 均為代數數的點）。如果我們再提醒自已一下，代數點在雙複變的平面上是稠密分佈的話，那麼此二曲線除在 x=0 ,y=1 以外，完全避開此一稠密點集的事實是很驚人的！以文字敘述即：

系：設 , 為代數數，則 , 為超越數。

(2) （即 ）
此時 2iy=eix-e-ix （因 等等）若 為代數數則由 Lindemann 定理 y 為超越數；反之若 為代數數，則 x 為超越數，仿照(1)之討論，此正弦曲線（反正弦曲線）除了 x=0,y=0 以外不通過任何代數點。以文字敘述即： 系：設 為代數數，則 , 為超越數。
定義：實數ａ被稱為代數數，若ａ滿足下列方程式

ａnｘn＋ａn-1ｘn-1＋．．．＋ａ0＝０；
此處ａi(i＝0,1,...,n)為整數且ａn≠０，若實數ｂ不是代數數，我們稱ｂ為超越數。

如：有理數就為代數數

而我們在判斷是否√２＋５√７為代數數。
　　　　　　　　　　　
　　　　　
(√２＋５√７)2 ＝２＋１０√１４＋１７５＝１７７＋１０√１４
　　　故　　　　
(√２＋５√７－１７７)2 ＝(１０√１４)2＝１４００
　　　所以√２＋５√７為方程式(X2－１７７)2－１４００的根，故得√２為代數數。

　　　而在西元1887年時，Lindemann證明出π為超越數，又我們可以證明可作圖數一定是代數數，故化圓為方是不可能的。

不但無理，而且超越！

實數有兩種，一種叫做代數數，而另外一種叫做超越數。所有的超越數都是無理數，簡單的說，超越數是無理數的subset。而π就是最著名的超越數了，讓我們從化圓為方這個歷史有名的問題談起吧。看字面也知道，化圓為方就是要做一個正方形跟已知的圓等面積 (限尺規作圖)，這個問題好像還頗有趣，要試的話就去試試看吧，但別花太久時間，因為這是無解的問題啊。這一個問題從公元前第五世紀就被提出，直到1882年，Lindemann終於證明了π是超越數 (利用了傳說中『數學界最美的式子』)，也就是說，根本別想化圓為方了，因為超越數的長度是無法用尺規作圖完成的。但事情沒那麼簡單就結束了，有許許多多的『業餘數學家』們，自認成功的解出了化圓為方的問題，歷史上甚至有議會 (美國印第安那州州議會) 要為這莫名其妙的結果立法，竟然還一讀通過！好在被一位數學教授給挽了回來。還有個叫做Heisel的人更是誇張，出版了化圓為方一書，自以為成功的解出來。這些不勝枚舉的故事，無法細說，希望大家能去查書看看，真的相當有趣，如果你有一點專業數學素養的話，你一定會覺得又好氣又好笑的。

總之，π的發展有許多意義，從一開始的發現，到推進小數位數，證明其超越性，這些可以看出人們數學知識的進步，例如利用展式求π值，用代數方法證明了尺規作圖。一路走來還有許多有趣的小插曲，誠心建議大家有空時不妨多接觸，會有相當的收穫的。如果還想再更了解π的話，強力推薦大家看看《π的故事》及《神奇的π》。

Answer 2

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Answer 3

複製文章都不用貼出處的呀…