半徑相等且高也相等的球體與圓柱體

Question

請用「微積分」來證明這項事實，愈詳細愈好。

(如果能的話，請用國中生能理解的角度去說明，謝謝。)

(證明體積相等)

※很抱歉上次的補充錯誤，更正為：「證明球體體積公式」，不一定要用國中生能理解的角度去說明，只要解答就行了，我會盡量瞭解您的解法。

Answer 1

我想，你的問題是關於阿里米德對於球體和圓柱體關係的研究吧
他證明了：
如果有一個半徑為 r 的球，還有一個底部半徑為 r，高為 2r 的圓柱體。那麼圓柱體的體積是球的體積的 3/2倍，圓柱體的表面積（連上下底）也是球的表面積的 3/2 倍。
另外他也證明了球體體積與面積公式。對於球體體積的算法使用了槓桿原理。

至於他的方法因為敘述過於繁複，建議你直接參考台大數學系網站上
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_06_1_04/index.html
和
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_14_07_1/
這兩篇完整的口述性文章，
畢竟它的算法是利用一連貫的想法去求得的答案，我貿然斷章取義只怕您也會看的霧煞煞。