錐體體積之驗證

Question

請用微積分來證明「錐體體積等於等高柱體體積的三分之一」。

麻煩詳細告知。

Answer 1

耍點小聰明，用柱座標 (r,t,z)...
積分的小要素就是 rdr dt dz， 重點是積分上下限。
假設圓錐的高為h，圓半徑為R。

t為柱座標中的角度，所以上下限是[0, 2*pi]
z為柱高方向，上下限是[0,h]
r為圓柱半徑方向，若上下限取[0,R]，最後會得到圓柱面積；
取圓錐的截面，因為相似三角形，不論r,z的值，都可得到
r : z = R : h
所以對圓錐而言，r的上下限應取[0,z*(R/h)]

現在r的上限變成z的變數，所以先積r，再積z，再積t（其實就是乘上2*pi），就是圓錐體積，也就是等高柱體體積的三分之一。

不知您學過積分公式沒有？這裡只用到最簡單的積分公式：
x的a次方 (a>=1) -積分-> (1/(a+1))*(x的(a+1)次方)