Nombres complexes?

Question

Salut
j'ai un de ces pb pour commencer une question, c'est le genre de truc ou y a aucune indication quand à la manière de chercher la solution... vous pourriez m'indiquer le début de la démarche pleease =)

Z1 et Z2 sont deux nombres complexes de module 1 et d'arguments respectifs alpha et beta
démontrer que (Z1+Z2)² /Z1Z2 est réél positif ou nul...

Answer 1

Il faut ecrire z1et z2 sous forme exponentielle. Comme ils sont tous les deux de modules 1, ca donne :
z1 = exp(iα)
z2 = exp(iβ)
Le reste vient tout seul...

Answer 2

bien sur que si un nombre au carré peut etre négatif.
c'est le propre des nombre dit complexe

Answer 3

on pose Z1 = exp(ia)
Z2 = exp(ib)
on a ( Z1 + Z2 )² = ( exp(ia) + exp(ib) )²
= ( (exp(i(a+b)/2))* ( exp(i(a-b)/2) + exp(-i(a+b)/2 ) )²
= exp(i(a+b)) * ( ( exp(i(a-b)/2) + exp(-i(a+b)/2 ) )²
= (Z1 * Z2) * ( cos((a-b)/2))²
d où ( Z1 + Z2 )²/Z1Z2 = ( cos((a-b)/2))²

cos((a-b)/2) est un nombre réel
le carré d 'un nombre réel est toujours positif ou nul
d'où (Z1+Z2)² /Z1Z2 est réél positif ou nul

Answer 4

(Z1+Z2)² /Z1Z2

tu dois connaitre l'écriture
Z=r(cos alpha + i sin alpha)

r=1

Z1= cos alpha + i sin alpha
Z2= cos beta + i sin beta

(Z1+Z2)² = ((cos alpha + i sin alpha)+(cos beta + i sin beta))²

Z1Z2 = ( cos alpha + i sin alpha)( cos beta + i sin beta

Je te laisse terminer, tu me dis si tu t'ensors,, le but c'est de trouver un truc du genre
Z=x cos(gamma) + i*0


Salim est correct aussi et a été jusqu'au bout, seuelment il a utilisé la notation esponentielle, je ne sais pas si tu la connais, car on fait ça à la fac..

Answer 5

i²=-1

C'est le fondement des complexes...

Answer 6

la quantitée cherchée est Z1/Z2 + 2 + Z2/Z1 ; Z1/Z2 et Z2/Z1 sont deux nombres complexes conjugués de module 1 et d'arguments respectifs alpha - beta et beta - alpha ; la somme de Z1/Z2 + Z2/Z1 est donc égale au double du cosinus de alpha - beta, donc un réel ; comme un cosinus ne peut être strictement plus grand que 1; son double + 2 ne peut être négatif

Answer 7

z1=e^ia
z2=e^ib
Donc (z1+z2)2/z1z2=(z1^2+z2^2+2z1z2)/z1z2
=z1/z2+z2/z1+2
=e^i(a-b)+e^i(b-a)+2
=2cos(a-b)+2
>=0 car cos(a-b)>=-1.

Answer 8

Z1=exp(i.alpha)
Z2=exp(i.beta)
(Z1+Z2)² /Z1Z2=[exp(i.(alpha-beta))+exp(-i.(alpha-beta))+2]
(Z1+Z2)² /Z1Z2=2[cos(alpha-beta) +1] qui est un réel positif ou nul...
CQFD

Answer 9

Aucune indication? Si, une, mais subtile.
On donne la notation des arguments des deux nombres, c'est pour que tu l'utilises. Traduis la conclusion en termes d'arguments ("est un réel positif ou nul" devrait être facile, c'est dans le cours).
Après c'est du juste du calcul: tu connais les formules "sin p + sin q" et "cos p + cos q" par coeur, non? :)

Answer 10

(Z1+Z2)² /Z1Z2
= Z1/Z2 + Z2/Z1 + 2
= Z1 Z2_ + Z2 Z1_ + 2
= 2 Re(Z1 Z2_) + 2
or |Re(Z1 Z2_)| <= |Z1 Z2_| = 1
Ainsi .... app R+
---------------------------------------
Autre méthode:

(exp(ia)+exp(ib))²/exp(i(a+b))
= [exp(i(a+b)/2) (exp(i(a-b)/2)+exp(i(b-a)/2))]² / exp(i(a+b))
= 4 cos²((a-b)/2)