volumen de solido de revolucion?

Question

Podrían por favor resolverme este problema?
Encontrar el volumen del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje X=2 la región definida por y=3-x, y= -x^2-3x+6
Muchas gracias!

Answer 1

ALLI TE VA LA SOLUCION

PARA RESOLVER VOLUMENES DE REVLUCION EXISTEN 2 METODOS GENERALES. EL DE CASCOS CILÍNDRIDOCOS Y EL ANILLOS CILINDRICOS.

ALGUNAS VECES NO IMORTA CUAL UTILIZAR Y EN OTROS CASOS ES IMPORTANTE DEDUCIRLO

PROCEDIMIENTO:

Paso1
Realizar un pequeño gráfico para darnos una idea del área que vamos a girar.

PASO 2 (análisis para elegir la fórmula)

Si te das cuenta como vamos a girar el área en torno a la recta x=2, Existe un radio que va desde la recta hasta donde inicia la gráfica; y otro radio Mayor que va desde la recta hasta el otro extremo de la parábola.

Por lo tanto el volumen que se formará; TENDRIA LA FORMA DE UN ANILLO CIRCULAR POR LA ALTURA. Es decir el volumen que se encuentra entre dos cilindros.

PASO 3
Deducción de la fórmula

Para realizar nuestro diferencial de volumen podemos dibujar dos pequeños cilindros dentro del volumen; uno dentro de otro (formando el anillo) por lo tanto. La fórmula de nuestro volumen vendría dado por

V=πR^2h -π r^2h (Volumen entre dos cilindros)

factorizando

V=πh (R^2- r^2) (Volumen entre dos cilindros)

factorizando la diferencia de cuadrados

V=πh (R-r)(R+r) (Volumen entre dos cilindros)

ahora vien el truco, dividiendo ambos lados entre de dos

V/2=πh (R+r)(R-r)/2

si te das cuenta, el 2 del lado derecho lo podemos separar para cualquier término; la clave está tomarlo para la suma de los radios y nos queda

V/2=πh*{ (R+r)/2 } (R-r)

si te das cuentas el término { (R+r)/2 } es un promedio de los radios; y el termino (R-r) es un cambio en los radios ; por lo tanto la expresión puede escribirse como

V/2=πh (r ' ) Δr

despejando V nos queda

V=2 πh (r ' ) Δr .

Que es una fórmula equivalente para calcular el volumen entre dos cilindros.
Donde el término
(r ' )= se conoce como radio promedio

TRASLADANDO ESTA EXPRESION A NUESTRO
VOLUMEN PARTICULAR; dibujamos un pequeño diferencial de volumen en nuestras curvas y obtenemos la expresion

V=2 πh (r ' ) Δr .

dV=2 πh (r ' ) dr .

ahora el radio vendrá dada por la distancia X y la altura h, en todo momento vendrá dada por f(x); trasladando estas condicinetos a nuestra formula de diferencial de volumen nos queda:

dV=2 π* f(x) * (x ' ) dx .

Para encontrar el volumen total debemos integrar nuestro diferencial: y nos queda

V=∫ 2 π* f(x) * (x ' ) dx .

*****fórmula de volumenes de revolucion por el método de anillos cilíndricos*********** que voy a utilizar

donde x' = distancia x, promedio.
´
PASO 3
SACANDO LOS DATOS DE NUESTRO PROBLEMA Y APLICANDO LA FÓRMULA CONOCIDA

DATOS:
a) f(x) = altura de nuestro volumen; al hacer la gráfica nos damos cuenta que la altura de nuestro volumen vendrá dada por la altura de la parábola menos la altura de la recta entonces nuestro f(x) de la fórmula será

f(x)= f(parábola) - f(recta)
f(x)= (-x^2-3x+6) - (3-x)
f(x)= -x^2-3x+6 - 3+x
f(x)= -x^2-2x+3

b) Nuestro radio promedio será: Si te das cuenta del eje x, a la parábola existen dos radios; uno negativo y otro positivo
es decir un radio vale x, y el otro vala -x

Nuestro radio promedio, de la distancia x a la recta x=2 es:

x´= 2-x (radio promedio 1)

Nuestro radio promedio de la distancia -x a la recta x=2 es:

X´= 2 - (-x) = 2+x

ESTO QUIERE DECIR QUE DEBEMOS SEPARAR Y CALCULAR DOS VOLUMENES POR SEPARADOS; EL QUE SE GENERA DEL LADO POSITIVO DE LA PARABOLA Y EL QUE SE GENERA DEL LADO NEGATIVO DE LA PARÁBOLA, EL VOLUMEN TOTAL SERÁ LA SUMA DE AMBOS

PASO 4
PLANTEANDO LAS DOS INTEGRALES PARA CALCULAR EL VOLUMEN TOTAL; UNA INTEGRAL PARA EL LADO DE LA PARABOLA en el eje x positivo, Y LA OTRA PARA EL LADO DE LA PARABOLA en el eje x negativo
UTILIZANDO LA FORMULA V=∫ 2 π* f(x) * (x ' ) dx .

V=

∫ 2 π* (-x^2-2x+3) * (2-X ) dx + ∫ 2 π* (-x^2-2x+3) * (2+X ) dx


PASO 5
debemos sacar los límites de integración; recordando que vamos a integrar en x:

Nuestros límites vendrán dados por la intersección de la recta con la parábola, encontrando dichos puntos, resulta:

igualamos ambas ecuaciones
-x^2-3x+6=3-x
-x^2-2x+3=0
resolviendo la ecuacion cuadrática que resulta de la igualacion:

-(x^2+2x-3)=0
(x+3 )(x-1) =0
x=1 & X= -3 (mis límites de integración)

PASO 6
La primera integral calcula el volumen del lado positivo de x; por lo tanto sus límites van de 0 a 1

La segunda integral calcula el volumen del lado negativo de la x; por lo tanto sus limites seran de (-3 a 0)

PASO 7
RESOLVIENDO LAS INTEGRALES

V=
∫ 2 π* (-x^2-2x+3) * (2-X ) dx + ∫ 2 π* (-x^2-2x+3) * (2+X ) dx

PODEMOS REALIZAR LOS PRODUCTOS EN EL INTEGRANDO Y FACTORIZAR EL TÉRMINO 2 π PARA AMBAS Y OBTENEMOS

V= 2 π{ ∫ x^3-7x+6 dx + ∫ x^3+4x^2+x-6 dx }

colocándoles sus limites a las integrales, por razones obvias, no se los coloco encima de la integral, se los indico en paréntesis:


V= 2 π{ ∫ x^3-7x+6 dx ;(0,1) + ∫ x^3+4x^2+x-6 dx ; (-3,0) }

resolviendo las integrales

V= 2 π{ 1/4x^4-7/2x^2+6x +

1/4x^4+4/3x^3+1/2x^2-6x }

PASO 8
evaluando los límites

V= 2 π { ( 1/4-7/2+6) - ( 0 ) +

1/4(-3) ^4+4/3(-3)^3+1/2(-3)^2-6(-3) - 0 }

V= 2 π { ( 1/4-7/2+6) - ( 0 ) +

1/4(-3) ^4+4/3(-3)^3+1/2(-3)^2-6(-3) - 0 }

V= 2 π { 11/4 + 1/4(-3) ^4+4/3(-3)^3+1/2(-3)^2-6(-3) - 0 }
V= 2 π { 11/4 + (81/4 -36+9/2+18) }
V= 2 π { 11/4 + 27/4 }
V= 2 π { 38/4 }
V= 2 π { 19/2 }

V= 19 π (Unidades cúbicas)

QUE ES EL VOLUMEN que te están pidiendo.


RESUMEN:
1 Aplicar la fórmula de anillos cilindricos.

2. La altura; es la resta de las dos funciones

3. El radio promedio se calcula: (La distancia del eje x a la recta donde voy a girar) menos (la distancia del eje x a la gráfica, esta x puede ser positiva o negativa)

Este es error de muchos en los examenes, siempre toman la distancia x (del eje a la gráfica) positiva, y eso no es cierto. De aquí depende como salga nuestro radio promedio

4. calcular los límites de integracion, igualando las funciones

5. integrar, y calcular los límites


UFF; ESTABA LARGO AMIGA; DISCULPA QUE ME EXTENDÍ PERO TRATÉ DE EXPLICARTE PASO POR PASO.

MUCHA SUERTE ; PRACTICA MUCHO ESTE MÉTODO, OJALÁ PUEDAS DARME LOS PUNTOS. bye