como se resuelve esta integral?

Question

la integral de 1/[(x+2)(x+3)] desde 0 hasta infinito

Answer 1

∞
∫ 1 / [(x+2)(x+3)] dx impropia que se cacula con:
0
........ b
lim .. ∫ 1 / [(x+2)(x+3)] dx
b→∞ . 0

calculamos la indefinida
∫ 1 / [(x+2)(x+3)] dx
fraciones parciales
1 / (x+2)(x+3) = A/(x+2) + B/(x+3)
1 = A(x+3) +B(x+2)
x= -2 .... 1 = A
x= -3 ... 1= -B ... B= -1

∫ 1 / [(x+2)(x+3)] dx = ∫[ 1/(x+2) - 1/(x+3)]dx
= Ln |x+2| - Ln |x+3|
=Ln [ |x+2| / |x+3| ]
evaluando desde x=0 hasta x = - b
= Ln |b+2|/|bx+3| - Ln 2/3
= Ln [ 3|b+2| / 2 |bx+3| ]

aplicando el limite
=lim [Ln 3|b+2| / 2|bx+3|]
. b→∞
= Ln { lim [ 3|b+2| / 2|bx+3|] } el limite forma ∞/∞
....... b→∞
aplicando L`hospital
= Ln { lim [ 3 / 2] }
...... b→∞
=Ln (3/2)

Por lo tanto:
∞
∫ 1 / [(x+2)(x+3)] dx = Ln (3/2)
0

Answer 2

por fracciones parciales