CHERCHEURS, savez-vous ce que vous cherchez?

Question

Moi souvent je doute, j'oublie. Ce dont je me souviens sans cesse, c'est que ça a un rapport étroit avec la délicatesse de la place de l'exposant dans un terme général. Exemple: si je somme la série harmonique 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ............. (chaque terme exposant 1), j'obtiens certes S = infini. Pour obtenir S = fini, il suffit qu'au lieu de 1 j'expose 1,0000000000000000000...1
(autant de zéros qu'on veut avant le 1). Délicatesse suprême, non? - Mais le rapport entre la place de l'exposant et l'origine de l'écriture me reste encore çà et là obscur...

@Wild ettounsi
Relis tes cours, cher ami. La série des inverses est infinie. La série des inverses carrés égale pi²/6 = 1,644934066848226436472415... =
un très petit nombre. D'où il suit à l'évidence qu'entre les exposants 1 et 2, il y a passage de l'infini au fini. Le remarquable est que la quantité à ajouter à 1 est epsilon. Si petit que soit l'ajout, on passe d'une série divergente à une convergente :

1^1 + (1/2)^1 + (1/3)^1 +(1/4)^1 +(1/5)^1 +(1/6)^1 +(1/7)^1 +(1/8)^1 +(1/9)^1 +(1/10)^1 +(1/11)^1 +(1/12)^1 +(1/13)^1 +(1/14)^1 +(1/15)^1 + ...etc = infini

alors que 1² + (1/2)² + 1(1/3)² +(1/4)² +(1/5)² +(1/6)² +(1/7)² +(1/8)^1 +(1/9)² +(1/10)² +(1/11)² +(1/12)² +(1/13)² +(1/14)² +(1/15)² + ...etc = fini = 1,644934066848...

Entre 1 et 2 quelque chose se passe. Le remarquable est que cela ait lieu pour 1+ rien!

Lance un programme dans un langage quelconque même basique avec un exposant 1+e, e aussi petit que tu veux - la somme converge.

@tous les autres
calembours faciles issus de X qui paraissent ne chercher que dalle. Dans ce style, j'aime mieux la réponse de Chou-Rave à l'instit dans les Aventures potagères du Concombre masqué. (signé Mandrika) :

L'instit. - Vous allez me direi tout ce que vous ignorez, pour que je vous l'apprenne.

Chou-Rave - Pour qu'il me la prenne? J'aime autant la garder !

- Je suis porté à m KC le crâne & parfois ça explose juste à côté.
- Où ça?
- Hier c'était dans le micro-onde.
- kwasa?
- 1 ravier KPT en fumant... une puanteur du diable.
- Drôle d'idée d'aller fourrer du verre là.
- Non, pas du verre glas : du solide : arkorok ou chépakwa.
- Pas mieux...
- Quel ampli! j'tedipa!... Pâàdîpa xa dû s'entendre !
- À 20 pas ?
- Oh ! 50...100... facile !
- Ne dit-on pas que l'éléphant barrit?
- Moi j'ai pas ri.
- En bouteille?
- S'il y a surchauffe, on évoque plutôt le hululement du Hibou. Mais là j'ai ouï, pour la première fois, le cri de la Fourmi.

@Chimere : Ma tête est chercheuse.

@Jacquy L
Tu railles mais le Nobel de chimie vient justement de couronner Gerhard Ertl, le prof Allemand qui a trouvé pourquoi le fer rouille (pas tout à fait mais il a montré la bonne voie). Bien pesées ses trouvailles pourraient aussi servir à soulager nos rhumatismes.

En Afrique aussi il y a des chercheurs. Ils se demandent pourquoi un nommé Rico (Samuel) se plaît à agresser, avec son bec, les mollets des dames. Ce coq, à la crête pourpre, à l'œil rond et au plumage blanc est aujourd'hui détenu au poste de police de Kisangani, chef-lieu de la province orientale de la République démocratique du Congo (RDC). Son propriétaire, un individu aux cheveux crépus, comme Michel, et à la peau sombre, comme le regard d'un revuiste des deux mondes, lui tient compagnie en prison. Car Orico n'a pas le moral. On l'accuse d'avoir becqueté sans raison valable, entre autres mollets, celui ornant la jambe droite de Mme Marthe Aondo - objet très comestible encore bien que Mme Aondo ait passé trente ans

Source : http://www.20minutes.fr/

La jambe a depuis raidi, mais d'une façon qui eût déplu même à Marcel Duchamp: comme après la morsure d'un serpent. Selon M. Bwanamuzuri, responsable du Centre médical où depuis samedi gît Mme Aondo, elle souffre d’hypertension. Aux dires des Kisanganois, le venimeux Rico n’en serait pas à son premier forfait. Petite circonstance atténuante : comme feu Landru il n’agresse que les femmes. (PANA)

@Wild ettounsi
J'ai écrit par négligence :" La série des inverses est infinie." C'est ambigu. Infinie dans le sens qu'elle comporte une infinité de termes, elle ne serait pas obligée de diverger pour si peu : si j'écris 0,999999999999999999... l'infinité de la quantité de 9 n'empêche qu'au total la somme égale 1. Au contraire, la série harmonique - appellée aussi Zêta (1) - diverge et cela se démontre aisément. On n'est pas forcé d'interpréter cela en termes d'«infini actuel». On peut se contenter de dire que, pour tout nombre N, aussi grand qu'on veut, on peut déterminer COMBIEN de termes de la fonction Zêta (1) il faudra additionner pour que leur somme surpasse N. Quant à la divergence, on pourrait l'exprimer encore un peu différemment en disant que le temps de calcul nécessaire pour exhiber une somme partielle de Z(1) peut toujours être augmenté, quelle que soit la subtilité du programme de calcul et aussi nombreux, aussi judicieusement réticulés que soient les processeurs rameutés.

@Raymond
Pardon du retard de cette réponse.

L'article signalé concerne très probablement l'Analyse non standard de Robinson. Dans ce cadre on substitue à la différentielle dx ("infiniment petite") de l'analyse infinitésimale classique le "quantum" que vous pointez, mettons q. Cela est certes nettement plus en harmonie avec les concepts de la mécanique quantique (dimension de Planck, etc.) Je lisais dernièrement sur un forum maths-philo une très intéressante discussion sur le finitisme qui rappelant l'opposition entre l'école de Hilbert et les intuitionnistes.
(On peut devenir "un peu fou" si l'on creuse trente ans dans cette mine, témoin Gödel selon 1 bouquin qui vient juste de paraître. Gödel n'est ni strictement hilbertien ni vraiment brouwerien. )

Ce qui me frappe, ce n'est pas tant le choix entre dx et q (question de convention inititiale qui oriente vers des théories aussi différentes que les géométries euclidienne et non euclidiennes)......

..... C'est la délicatesse de la "place de l'exposant". C'est là que ça se passe. Tant du point de vue numérique quantitatif : remplacez l'exposant 1 implicite dans Zêta(1) par 1+dx = du coup ce qui divergeait converge. Bien entendu il n'existe pas de valeur assignable à un développement limité de Zêta(1+dx) : aussi grand qu'on veut mais fini, un point c'est tout. Réciproquement q fini rend triviale la divergence de Zêta (1).

Je ne CHERCHE pas un "nombre infiniment petit" comme vous dites - je relève que l'opération clé qui détermine le passage de la divergence à la convergence a comme lieu CELUI DE L'EXPOSANT. Exposant 1 ça diverge. Exposant 1+zéro (ou infiniment peu s'en faut) ça converge. Je TROUVE ce fait remarquable.

(Si, à l'argument réel, on substitue s complexe, on obtient avec la fonction générale Zêta(s) le problème le plus fameux des maths classiques, celui de la position des zéros de cette "fonction Zêta de Riemann" sur la verticale parallèle à l'ordonnée coupant l'ab

... coupant l'abscisse au point 1/2. ) Mais restons-en à des exposants à partie imaginaire nulle :

Du point de vue numérique qualititatif
(celui où l'on construit successivement
- l'ensemble Z des entiers,
- celui Q des rationnels,
- celui A des irrationnels algébriques,
- puis celui des transcendants de la forme n^b avec n entier et b irrationnel algébrique
- puis . . . . . . . )
il s'avère qu'à chaque pas c'est en termes d'exposants qu'on peut formuler le plus simplement le "saut de page" d'un ensemble au suivant...

(à suivre - mais ce n'est pas ici le bon endroit.)

@hérisson
Chaque fait en soi n'a rien d'étrange en effet. On a même pu soutenir que tout fait mathématique devient trivial sitôt démontré - d'où la conception "logiciste" des mathématiques comme une vaste tautologie. Ce qui me paraît remarquable, c'est, comme je l'indique à Raymond, que, d'opérer à cet endroit formel sensible entre tous - le LIEU de l'exposant - suffise à engendrer des entités mathématiques si diverses... et des rencontres non fortuites si curieuses... tant qu'on ne les a pas saisies, suggères-tu?
Sans doute.

Answer 1

Dans la très sérieuse revue "Scientific American", il y a eu un article (il y a plus de 10 ans?) où des chercheurs en mathématiques posaient l'existence d'un nombre qui n'était pas zéro mais qui était le plus petit des nombres positifs finis.

Ils (et elles) avaient construit un champ (i.e., un anneau abélien doté de l'addition et de la multiplication) comprenant tous les nombres réel, plus cet extrêmement petit nombre (ainsi que son inverse additif et leurs inverses multiplicatifs).

Pour ces chercheurs, c'est ce nombre infiniment petit qui aurait été celui que vous cherchez.

Je ne me souviens pas comment ils avaient appelés ce nombre (probablement 'epsilon'). À l'époque, cela m'avait frappé car j'étudiais la continuité, les limites, et toutes ces choses pour lesquelles on abuse du delta et du epsilon (ces nombres strictement positifs qui s'approchent du zéro).

Answer 2

Des chercheurs qui cherchent on en trouve mais des chercheurs qui trouvent, on en cherche.

(ma femme est chercheuse)

Answer 3

Si on savait ce qu'on cherche, inutile de chercher, cela serait trouvé
Une chercheuse

Answer 4

Je ne vois pas surquoi on se casse la tête.
Où est le problème ?
Pour e>0, (Somme sur n) de [(1/n)^(1+e)] => (infini) quand e=>0.
C'est kif kif que :
pour x€{R}, [limite de 1/x pour x=>0] = (infini)
Qu'y a-t-il là d'étrange ????

Answer 5

Bonjour,
je pense que tu as une idee assez precise de la chose quand meme!

En gros, du moins au debut, on te mets sur un sujet, en general un sujet proche de ce qui a ete fait et c est a toi d essayer de l adapter.

Ensuite au fur et a mesure du temps, en lisant d autres articles sur le sujet, ou sur autre chose, en assistant a des conferences, ou en discutant avec des gens, des idees germent pour traiter tel ou tel type de probleme. Et parfois, tu n arrives pas ou tu veux ni ou tu penses, mais tu arrives a resoudre d autres problemes interessants.

Bref, en general on a une idee de ce qu on veut faire, mais cela ne marche pas toujours.

Pour ton probleme de la serie harmonique et d une serie qui l approche, je pourrai comparer cela avec l etude d un probleme approchee qui estime bien ou non le probleme en faisant tendre le parametre vers 0 ( un petit terme de viscosite en edp, une regularisation...)

Answer 6

on cherche des sujets de recherche

Answer 7

bonjour

En Belgique, j'ai vu dans un reportage TV que nous avons des chercheurs qui cherchent et oui, ils cherchent pourquoi il y a de la rosée sur les plantes le matin et cela coûte des millions, actuellement les belges envois une station au pôle nord, je suppose que c'est pour chercher pourquoi il y a de la glace !

Answer 8

je en sais pas mais je le cherche activement, ça portera surement ses fruits
héhé

Answer 9

c'est le contraire qui est vrai car la premère somme =2
et la 2ème est fausse

Answer 10

non mais on te dira quand on trouvera.