Connaissez-vous la résolution équation différentielle par la méthode d''Euler et est-elle efficace

Question

Pourriez-vous m'en exposer les grandes lignes, merci...

Answer 1

Pas très efficace contre la cellulite en tout cas...

Answer 2

D'accord avec la réponse précédente.
(Même si c'est du copier coller de Wikipedia sans le dire ! )

Un complément pour comprendre cette méthode d'un point de vue géométrique.
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_d%27Euler

L'idée consiste à remarquer que l'équation différentielle nous donne la valeur de la dérivée f'(x) quand on connait f(x)
Or f'(x) représente la pente de la tangente. La formule
yn = yn-1 + h f(xn-1) donnée dans la réponse précédente exprime le fait que pour calculer la valeur suivante, on n'utilise pas l'expression f (par définition inconnue) mais l'approximation que fournit la tangente
(qui elle est connue)
Regarde bien la figure donnée dans le lien ci dessus

C'est une méthode utile pour les démonstrations théoriques (vue ça simplicité) mais en pratique à éviter car elle est en O(1/n) . (c'est à dire que l'erreur commise est de l'ordre de 1/n où n est le nombre de points pris dans l'intervalle)

En pratique on utilise les méthodes de Runge Kutta.
Géométriquement l'idée n'est pas différente, sauf qu'au lieu d'approcher par la tangente (une fonction affine) on approche par des polynômes de degré supérieur

On a des méthodes de Runge Kutta de tout ordre
mais classiquement on utilise celle d'ordre 4:
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thodes_de_Runge-Kutta

Answer 3

alors là...je me balade ds les questions diverses et je te trouve aussi ds cette rubrique...;tu m'épates toi....accro aux maths aussi

La méthode d'Euler est une méthode numérique élémentaire de résolution d'équations différentielles du premier ordre, de la forme où est un intervalle d'une fonction réelle

Étant donnée une condition initiale , la méthode fournit pour tout point une suite d'approximations de la valeur que prend, lorsqu'elle existe, la solution de l'équation qui correspond à cette condition initiale. Divers jeux de conditions sur peuvent assurer la convergence de cette série.
Ca s'obtient en calculant valeurs intermédiaires de la solution approchée aux points régulièrement répartis.

On étend cette notation et ces valeurs intermédiaires sont alors données par la relation de récurrence

Intégration d'une fonction [modifier]
L'intégration d'une fonction continue sur un segment peut être vue comme un cas particulier où la fonction est continue et ne dépend que de . On démontre alors aisément, en utilisant la continuité uniforme de sur (théorème de Heine), que la suite est de Cauchy

Méthode d'Euler pour une fonction [modifier]
Pour calculer des valeurs approchées d'une primitive G de f sur I = [x0, xn], on divise I en n intervalles et on choisit

Pour la valeur initiale y0 on a F(x0) = G(x0) = y0 ce qui permet de placer le premier point A0 (x0 ; y0).

Pour les n valeurs x1 = x0 + h, x2 = x1 + h, ..., xn = xn-1 + h, on calcule de proche en proche, en relation avec la propriété de la dérivée citée ci-dessus, les n valeurs approchées F(x1), F(x2), ..., F(xn) de G.

En effet G est dérivable en x0 et G'(x0) = f(x0) :

F(x0 + h) = F(x0) + h f(x0) donc F(x1) = y0 + hG'(x0) G(x1) ; soit y1 = y0 + h f(x0) st F(x1) = y1 G(x1).

On recommence avec x1 :

F(x1 + h) = F(x1) + h f(x1) donc F(x2) = y1 + hG'(x1) G(x1) + hG'(x1) G(x2) ; soit y2 = y1 + h f(x1) et F(x2) = y2 G(x2).

Puis y3 = y2+ h f(x2) = F(x3) G(x3).

Et ainsi de suite n itérations jusqu'à yn = yn-1 + h f(xn-1) = F(xn) G(xn).

Answer 4

non mais si tu veux un peu de brioche aux pépites de chocolat j'en dispose et je t'en offre un morceau bien volontiers ¤