Cómo se estudia la continuidad y derivabilidad de esta función?

Question

Hola, he estudiado el tema, pero este caso es nuevo para mí, porque yo sé hacer los de "1 sola condición" o " que tuviesen 2 funciones nada mas", pero en este caso en la segunda función me ponen 2 condiciones y son 3 funciones.

¿Qué procedimiento llevaría a cabo para desarrollar este problema?

Aquí os dejo el link de la imagen, ya que aquí no se pueden hacer las fórmulas: http://i111.photobucket.com/albums/n147/brdg_2006/Tareas%20Y%20Problemas/Continuidad.jpg

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Muchas gracias por su atención, y gran saludo.

Os agradezco de todo corazón por vuestra ayuda. Un gran saludo.

Answer 1

Si bien acabo de ver:

f(x) = - ax ; si x < - 1

f(x) = ax - b ; si - 1 ≤ x < 1

f(x) = 2x ; si x ≥ 1

Entonces debemos hallar "a" y "b" tal que la función f(x) sea continua en todo su dominio, bien:

Los limites laterales deben coincidir, es decir:

Lim f(x) = Lim f(x)
x → -1(-)..x → - 1(+)

Lim (- ax) = Lim (ax - b)
x → - 1(-)....x → - 1(+)

- a(- 1) = a(- 1) - b

a = - a - b

a + a = - b

2a = b

2a - b = 0 (Ecuación 1)

Luego con x → 1 lo mismo:

Lim f(x) = Lim f(x)
x → 1(-)...x → 1(+)

Lim (ax - b) = Lim 2x
x → 1(-)..........x → 1(+)

a(1) - b = 2(1)

a - b = 2 (Ecuacion 2)

Recuerda que teniamos dos ecuaciones:

2a - b = 0 (Ec. 1)

a - b = 2 (Ec. 2)

De (Ec. 1) despejo "b = 2a" y reemplazo en (Ec. 2)

a - b = 2

a - 2a = 2

- a = 2

a = - 2

Como b = 2a entonces b = - 4

Answer 2

Primero debes saber cuales son los puntos para estudiar lo que te piden y esos son 1 y -1, que los sabes porque ahi es cuando cambian las funciones.
Ahora estudias para x=-1
f(-1)= -a -b te fijas donde incluye el -1 y es en la 2º ecuacion
limx--> -1 de f(x)= estudias a derecha y a izquierda porque es el punto donde cambia la funcion
lim x-->-1+(a derecha) de f(x)= ax-b aplicas limite y es -a-b
lim x-->-1 - (a izq) de f(x)= -ax= a
aca los limites son distintos entonces no hay limite entonces no es continua.
Para que sea continua debes igualar los limites
-a-b = a
-a-a = b
-2a = b (1)

Para x=1
f(x)= 2
lim x-->1 f(x)= tambien tenes a izq y a der
lim x-->1+ de f(x)= 2
lim x-->1- de f(x)= a-b
Para que sea continua los limites tienen que ser iguales
2 = a-b
b= -2 + a (2)
Ahora comparo (1) y (2)
-2a = -2 + a
-2a - a = -2
-3a = 2
a= -2/3
b= -8/3

Ahora los limites para cada punto deben ser iguales y la tercera condicion es que f(x) = lim

Answer 3

Para que sean contínua el límite debe ser igual en las tres funciones.
Lim 2x = 2
x---1

Lim ax - b =2
x---1

lim -ax = 2
x----1
O sea, para x= 1 te queda:
a - b = 2
-a = 2, o sea que a = -2

-2 -b = 2
-b = 4, o sea que b = -4

Suerte
Doncella Guerrera

Answer 4

¿Sabes las condiciones para que haya continuidad, no? Entonces vamos a trabajar con la parte que ya conocemos. Ésa es para x => 1 (Aquí, cuando digo => me refiero a "mayor o igual).
Si tienes que para x=1, f(x)=2, lo que tienes que hacer es asegurarte que el segmento [-1, 1] se "empareje" con la sección anterior. Por tanto, lo que tienes que hacer es solucionar

ax-b = 2.

Pero no puedes resolver eso todavía. tienes un poco más de información. tienes que emparajer los otros segmentos. En x=-1. En ese punto, ambos segmentos deben valer lo mismo (aunque para uno no esté definido). Esto es, hacer

-ax = ax-b

Esto nos da que 2ax = b.
sustituyes en ax-b=2 (que ya habíamos obtenido) y da

ax-2ax=2
-ax=2
a = - 2/x

De nuevo, el punto que nos interesa es x = -1.
Por tanto, a = 2 y b = -4

Comprobemos, entonces. La ecuación f(x) por partes que es continua es

-2x.......... si x> -1
2x + 4 ....si -1 <= x <= 1
2x ..........si 1<= x

Si estás haciendo este tipo de preguntas, estoy seguro que podrás comprobar que esta f(x) que propongo como solución es continua para todos los reales.






Acabo de ver las dos respuestas que hay aquí, además de la mía. Tengo MESES de no hacer nada con matemáticas y la verdad no tengo muchas ganas ni de revisar mi procedimiento ni de revisar el de ellos. Ambos llegan a que a = -2 y yo a que a = 2. Pero no me sale con a = -2. Al menos no me da que f(x) sea continua. Tal vez es que ya estoy muy oxidado o que ya tengo sueño.
Compruébala y nos avisas.