Qui d'entre vous a vraiment trouvé et démontré (ou va trouver et démontrer) l'énigme qui suit?

Question

Simon et Pierre connaissent respectivement le somme et le produit de deux nombres entiers supérieurs à 1. Ils dialoguent devant moi (et vous).

-Simon : la somme est inférieure à 100.
-Pierre : ça ne me suffit pas.
-Simon : je savais que ça ne te suffirait pas.
-Pierre : alors je les connais.
-Simon : alors moi aussi.

Quels sont ces nombres?

Problème garanti sans jeu de mots (mais oui) et sans données manquantes; rien n'est dit du temps qui s'écoule entre deux répliques.
J'ai mis 20 heures en tout, je ne connais personne ayant fait mieux. Qui détiendrait une solution plus "rapide"?.
Je donne la réponse plus tard, et ma démo par mail à qui la veut.

N'oubliez pas d'acheter gomme, crayon et Doliprane!

@taratata : tu ne réponds pas à ma question. Le plaisir d'une énigme, ce n'est pas chercher une référence, mais de se creuser les méninges. Dommage

@philippe : idem. J'espère que ceux que ça amuse résisteront à la tentation d'aller à la solution; sinon, il suffit de copier la solution quand on fait des mots croisés.

@cati : non, il n'y a pas plusieurs solutions; mais je ne suis pas sûr qu'on passe moins de temps à comprendre un site qu'à trouver soi-même.

@Aurelyn : oui c'est un truc de dingue, non produit et somme ne sont pas égaux. Simplement, Pierre est devant un produit qui se décompose en 2 d'un tas de façons, idem pour Simon et la somme, et le dialogue permet à chacun de faire le tri entre ce qui est possible (compatible avec le discours de l'autre) ou pas.
Mais c'est vrai qu'au début, on est devant ce truc comme une poule devant un couteau!
Amuse toi bien (mais dors un peu!)

@franck . C'est un poil plus compliqué!!!

@archange
inégalité strictes : nombres supérieurs ou égaux à 2. Quand à la limite 100, tu prendre 101 ou 200; elle et là pour ne pas travailler pendant 1000 ans. On a poussé le problème jusqu'à une limite immense, par ordi, et on arrive à la conjecture forte que la solution soit unique sur l'ensemble des entiers !!!
démarrer par la formule du binôme est une tentation légitime; mais il n'y a que de la logique et de l'arithmétiue de papa dans cette affaire

@ jam ....
Le tableur peut tout faire, mais la liste que tu donnes se raisonne en quelques minutes le crayon à la main. La liste est bonne.

Et après, si tu étais arrivé à la liste en raisonnant, tu serais entraîné et tu aurais poursuivi sans mollir. Mais, hélas, arriver en hélico au pied du glacier n'est pas la meilleure préparation physique et psychologique pour l'ascension finale!

@intermezzo.
La bonne solution est dans tes 4, mais il n'y en a qu'une seule; les 3 autres sont fausses.
A titre d'exemple : 4*61. Au vu de 244, Pierre ne verrait qu'une solution : 4*61. Mais, de son côté, Simon verrait S=65. Il y trouverait 4+61, mais aussi 53+12. Or 53*12 est aussi un produit que Pierre décomposerait sans ambiguité (53*12 est le seul, car 106*6 ou tout autre violerait la règle de S<100). Dans 61, Simon ne saurait pas arbitrer entre ces deux possibilité, donc S=65 est à écarter.
Affaire à suivre.

@tous
pardonnez moi l'équivalence entre "savoir" et "pouvoir", parlé local oblige : je ne sais pas tout corriger quand je me relis.

bravo qwazerty. 4h tout compris, y compris l'accouchement des idées en partant de 0?
En fait, il semble que ce soit une conjecture et que 4 & 13 restent seuls sur l'ensemble des entiers.
Mais sans ordi, c'est plus long : entre calculer et trouver les raisonnement, c'est kif kif.
Quel outil pour programmer?

Answer 1

J'avais fait ça en 3 ou 4 heures, mais avec S<400 (4 et 13 reste toujours l'unique solution)

(ERREUR: en fait c'était a et b<200 et donc on obtient bien S<101 car si l'un des 2 nombres était 101 (qui est premier), Pierre aurait trouvé tout de suite)

Enfin du moins, j'avais trouvé l'idée pour éliminer les valeurs impossibles, après au lieu de travailler sur papier j'ai tapé un algo qui a fait le sale boulot pour moi :-)

Il m'a sorti { [4,13] , [13,4] }, je lui ai fait confiance

Ou remarque peut-être pas 13 et 4, j'avais dû lui mettre a
PS: Pour programmer, j'ai pris Maple (qu'on étudie en prépa)

Pour les 4 heures, je dois avoir mis 5 minutes pour bien comprendre l'énoncé, 1 heure pour bien exploiter le "Je le savais" et éliminer toutes les sommes impossibles à ce stade, et le reste du temps à programmer (comme j'utilisais beaucoup d'ensembles de listes d'ensembles d'entiers (!!!), les erreurs de syntaxe étaient fréquentes)

Et pour le cas général (pas de limite max pour les 2 entiers), le fait que 4 et 13 soient les seules solutions (ou pas) m'a l'air très lié à la conjecture de Goldbach (qui permet de montrer ici que S est impaire)

PS2: Et je viens de me rendre compteque j'ai dû faire une erreur de programmation: avec seulement a et b<200, la solution (4,61) marche

Answer 2

Je ne comprends pas. Il y a plusieurs solutions, couples de nombres dont la somme est inférieure à 100..?

Pourquoi 4 et 13 ? Je ne vois pas !!!

RE : J'ai lu en diagonale le lien donné ci-dessus : complexe et j'ai du mal à suivre, à l'occasion je prendrai le temps...

Answer 3

Si 1 est compris il n'y a qu'une solution, 1 et 4
Si la valeur minime est 2 Il y en a quatre paires de solutions...
4 et 13
4 et 61
16 et 73
64 et 73

A condition que le 1 n'est pas de la partie et que les deux le savent...
Le raisonnement est un peu trop long pour le détailler ici...

Answer 4

le tableur est mon ami
le fait que les nombres soient supérieurs à 2 et que la somme ne dépasse pas 99, ça limite les couples différents à 2353
avec tous ces couples, on peut calculer le produit et compter combien de fois chacun d'eux apparaît

chaque fois qu'un produit n'apparaît qu'une seule fois, on peut considérer qu'il ne fait pas partie du résultat car autrement, pierre aurait trouvé les nombres sans autre indice
(cela dit on est du point de vue de simon pour l'instant)
dans ce cas, on considère que la somme des nombres dont le produit n'apparaît qu'une seule fois est excule aussi comme somme connue de simon
avec ça on limite donc la liste des sommes qui pouraient marcher à celle-ci:
11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53

maintenant, si on se penche du côté des produits, tous ceux qui ont une de leur combinaison qui est en dehors de cette liste sont à exclure
il ne reste plus que les couples suivants
(17,6) s=23, p=102
(22,13) s=35, p=286
(34,3) s=37, p=102
(26,11) s=37, p=286
(23,14) s=37, p=322
(51,2) s=53, p=102
(46,7) s=53, p=322

après ça, je cale parce qu'à mon avis, il faut trouver toutes les combinaisons (y compris dont la somme serait supérieure à 100) pour savoir pourquoi la conversation se termine ainsi

Answer 5

Intéressant.Peux-tu au moins préciser si tes inégalités sont strictes ou larges?Merci d'avance.

a et b sont des entiers supérieurs à 1.
Simon connaît S=a+b
Pierre connaît P=ab
X²-SX+P=0
Δ=S²-4P
X1=(S-√Δ)/2 et X2=(S+√Δ)/2 sont les entiers a et b.
A suivre...
Est-on obligé de se farcir tous les cas ou bien existe-t-il une méthode plus élégante et moins "bourrine"?

Soient a et b ces deux nombres tels que a>b.
Si a et b sont premiers,Pierre a la réponse tout de suite,ce qui n'est pas le cas.Donc l'un au moins n'est pas premier.

En fait je comprends que la première réponse de Pierre signifie qu'il y a plusieurs couples de nombres dont la somme est inférieure à 100 et dont le produit est P.
Mais je ne comprends pas ce qu'apporte le fait que Simon le savait.Et encore moins que le fait que Simon sache que Pierre ne trouverait pas tout de suite permette à Pierre de trouver.

Après avoir vu le lien proposé,j'ai compris que j'étais un intrus dans l'univers des maths.Je n'ai pas tout compris,et la solution n'est pas explicite d'autant plus que c'est très mal présenté et expliqué.Je compte donc mettre fin à mes jours.
Adieu,mes frères,j'abandonne!
Quand mon fantôme reviendra,donne-lui la solution bien expliquée pour qu'enfin je connaisse la paix.Amen.

Answer 6

je tente le coup - que 100 et + donc -100=10 si on fait passer un terme qui s'élimine de lui même puisque 0 devant un chiffre ne compte pas donc 0.10= 10

Answer 7

c'est un truc de dingue...une explication stp?
la somme et le produit de ces deux nombres doit etre la meme c'est ca??
je ne suis pas sure d'avoir bien compris..

edit: ok je reflechis...

edit 2: 49 et 50...car 49+50=99 (inferieur a 100)
49x50=2450
si c'est juste, dis le moi, si c'est faux, ne me donne pas la solution, laisse moi encore reflechir

edit3: mais dans ce cas il y aurait plusieurs solutions possibles alors ca doit etre faux...

Answer 8

C'est assez compliqué. Voir http://faq.maths.free.fr/html/node59.html pour une réponse parmi d'autres.

Answer 9

4 et 13