Enigme mathématique qui me taraude depuis 2 jours. Cela vous tente ?

Question

*Dans un champ se trouvent des agents secrets en nombre IMPAIR
*Chacun d'eux surveille celui qui lui est le plus proche.
*On suppose aussi que si 2 sont séparés par une certaine distance, cette distance est unique (par exemple : si A et B sont séparés de 30 mètres, aucun autre "couple" d'agents ne seront séparés de 30 m).
Le but est de prouver qu'il existe au moins un agent qui n'est surveillé par personne.
Bon courage ! (je n'ai pas la solution)

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@ CALYPSO

Ben, si je le savais !
J'ai pris l'énoncé tel quel.
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@ ANTONE_FO

J'y ai pensé, mais développe un peu.
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@ DIETL

Non parce que D peut être loin de C tout en étant proche de B. Ce qui entraîne que B surveille D et non A.
Les agents ne sont pas alignés.
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@ ANTONE_FO

D'accord sauf la dernière ligne "on se ramène au cas n". En effet, A et B se surveillent mutuellement, mais peut-être qu'un certain C surveille aussi A.
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@ Bien. Et où intervient le fait que le nombre d'agents est impair ?
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@ ANTONE_FO

C'est bon, tu n'as pas à le dire, puisque tu es parti de n = 3.
Et il est facile de montrer que c'est pas forcément vrai si n est pair. Evident pour 2
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Answer 1

Par récurrence.

Edit : je développe mon raisonnement :
Hypothèse : pour n personnes qui regarde, il y en a une qui n'est regardé par personne
S'il n'y en a qu'un : c'est évident.
Pour montrer le raisonnement, je prend le cas de 3 militaires :
La distance entre le 1er et le deuxième est d12
La distance entre le 1er et le 3ème est d13
La distance entrele 2ème et le troisième est d23
Comme les distances sont différentes, il en existe une et une seule plus petite que les autres.
Si c'est d12, alors le 1er et le 2ème se regardent l'un l'autre et le 3ème n'est regardé par personne.
Même raisonnement dans le cas où c'est d13 ou d23.
On suppose vrai pour n
Pour le cas n+2 : on prend d la distance minimale. Les deux militaires distants de d se regardent donc mutuellement car les autres distances sont plus grandes. On se ramène au cas n.

Edit bis : Si deux personnes regarde la même personne c'est fini car comme chaque personne n'en regarde qu'une alors il y en aurait forcément une qui ne serai regardé par personne ! On s'est bien ramené au cas n : les n personnes ne peuvent être regardé que par l'un des n-1 autres et pas par les 2 éliminés. On s'en fiche, s'il y en a qui regarde l'un des deux éliminé : c'est encore plus facile ainsi car n personnes regardent n+1 personnes.

Answer 2

En fait, ce n'est pas extrêmement difficile.

on peut considérer les 2 espions les plus rapprochés l'un de l'autre. Nécessairement, ils se regardent l'un l'autre. 2 cas:

1) Si un autre espion regarde l'un d'eux, alors l'un d'entre ces derniers sera regardé 2 fois au moins. Il y a donc quelque part un espion que personne ne regarde! (Il y a évidemment autant de regard que d'espion).

2) Si personne ne regarde ces 2 espions, on peut les enlever sans changer le problème. Bien voir que celà ne change pas la parité.

Par récurrence, on se ramène à 3 espions; et là, celui d'entre eux qui n'est pas parmi les 2 plus proches n'est évidemment regardé par personne.

CQFD

Answer 3

Parmi les agents, considérons les deux qui sont le plus proche l'un de l'autre. Ils se surveillent donc mutuellement.

- Si un autre agent regarde l'un d'eux, alors celui-ci sera surveillé par deux agents différents, et donc quelque part il y aura forcément un agent qui ne sera surveillé par personne.

- Maintenant, si personne ne regarde ces deux agents, on peut les oublier et refaire le raisonnement avec les agents restants.

S'il était possible qu'aucun agent ne soit surveillé par personne, on pourrait ainsi associer de proche en proche les agents par paires se surveillant mutuellement. Or c'est impossible puisque le nombre d'agents en impair : c'est donc que, quelque part, il existe un agent qui n'est surveillé par personne.

Answer 4

ça me fait penser à la vieille blague sur la distance qui sépare les barreaux de l'échelle de coupé quand la marèe monte : la distance qui sépare les agents ne joue aucun rôle ????
-s'il sont en ligne, un des agents à l'extrémité n'est pas surveillé
-s'ils sont en rond, chacun est surveillé
-s'ils sont répartis de façon aléatoire, c'est le bazar et je ne vois pas comment ça peut se passer. Ils s'entretuent ?

Answer 5

-si tout couple d'agent est séparé par une distance unique, cela entraîne qu'il y a forcément une plus petite distance.
-Les agents de ce couple se surveille donc mutuellement.
-Pour que tous les agents soient surveillés, il faudrait que chacun des agents soit surveillé par au plus 1 agent, car un agent ne peut en surveillé qu'un seul.( ex pour 3, si 2 en surveillent 1, au moins 1 n'est pas surveillé).
-Donc si tous les agents sont surveillés, notre premier couple n'est surveillé par aucun autre agent.
-De même pour ceux qui restent, il existe une seconde plus petite distance (aucune distance n'est pareille à une autre) , et pareillement, ce couple n'est surveillé par aucun autre. En poursuivant ainsi n fois, il apparaît clairement que le nombre d'agent est pair: ce qui est contraire à l'énoncer=> absurde, donc il y a au moins un agent qui ne soit pas surveillé

Answer 6

peut on surveiller un homme qui est a 30 mètre de nous ? Non donc il en existe donc plusieur

Answer 7

En fait, la démo me semble assez simple.

Il y a n personnes. On sait que chaque personne ne regarde qu'une seule autre. Il y a donc n "regards".
Pour qu'une personne soit regardée, il faut un regard vers elle. Pour que toutes les personnes soient regardées, il faut donc n regards vers n personnes différentes.

Si deux personnes se regardent mutuellement, cela isole une personne. Or c'est forcément le cas puisque la plus petite distance sera celle de deux points, et pas d'un point unique.

Être vu, c'est avoir une des distances avec les autres parmi les minima d'un autre au moins.
À trois personnes, il y a un point qui ne répond pas à ce critère.
À 5, il y a deux cas :
- la seconde distance la plus courte n'est pas avec un point de la distance la plus courte : on ne fait qu'empirer les choses (le "au moins un non regardé", ie un ou plus)
- elle est avec un des points les plus proches, donc un point sera regardé deux fois. On a à nouveaux deux cas avec les deux points restants, mais peut importe.

par récurrence, puisque ça arrive au cas n, cela arrive au cas n+2.

Answer 8

J'ai l'impression qu'il manque une donnée au problème, en quoi les distances qui les séparent nous permettent d'identifier celui qui est seul ?

Answer 9

je te dirai la reponse plus tard car mintenant j'ai la migraine!!

Answer 10

Le plus éloigné ne sera pas surveillé car Il n'a pas sont surveillant pair et que, logiquement, il n'est pas le plus proche.

1 = Agent non surveillé.

x = Nombre impair total d'agents.

x - 1 = Nombre pair d'agents qui se surveillent entre eux.