Equazioni differenziali, inviluppi?

Question

Un'equazione differenziale che ha un inviluppo soddfisfa la condizione di Lipschizt per ogni punto (x,y) appartenente all'insieme di definizione dell'equazione differenziale?
A me pare di no perché, supponendo di avere un punto (x0,y0) in cui passa l'inviluppo (e l'inviluppo è soluzione di un'equazione differeziale), allora deve passarne un'altra per quel punto (quella "classica"). Ciò contraddice l'univocità del teorema di Picard-Lindelöf...Ho detto giusto? HELP!

No che io sappia invece un inviluppo è una particolare soluzione di una equazione differenziale, tangente in almeno un punto ad ogni famiglia di curve soluzioni dell'equazione differenziale.
Guarda per esempio l'equazione differenziale di Claurait:
y = y'x + c(y')
essa possiede sempre un inviluppo (lo si parametrizza). Ma ci sarà anche un punto in cui la soluzione "non particolare" sarà coincidente con l'inviluppo.
E ciò perciò la EQ.DIFF non soddisferà i prerequisiti del teorema di Picard-Lindelöf, e quindi non sarà Lip continua in un intorno di (x,y).
Ma vale sempre?

Chiamiamo A: condizione di Lipschitz soddisfatta per una eq diff
B: univocità e esistenza della soluzione
A implica B.
Ma allora NON B implica NON A, cioè visto che la soluzione non è univoca, non soddisferà la condizione di Lip
Giusto?

Answer 1

Ciao Pat, ho qualche perplessità quando scrivi "un'equazione differenziale che ha un inviluppo", che io sappia l'inviluppo è un tipo particolare di equazione differenziale (parametrica)...
Se ci mettiamo nel piano la condizione di continuità di Lipschitz è condizione necessaria perche un problema ai valori iniziali abbia esattamente una soluzione (teorema di Picard Lindelof).
Quando parli di inviluppo, parli di una famiglia di curve che soddisfano ad una famiglia di equazioni differenziali.
Se tu prendi un'equazione differenziale della famiglia (per intenderci, dai un valore al parametro) non vedo perchè ogni singola curva della famiglia non dovrebbe poter soddisfare la condizione di continuità di Lipschitz e quindi generare un problema ai valori iniziali con soluzione unica...
Ho compreso bene il tuo dubbio?

Ok, ora comprendo quella tua strana frase (un'equazione differenziale che ha un inviluppo), ciò di cui ti ho parlato (famiglia di equazioni differenziali) è un'altra cosa.

Se mi parli dell'equazione differenziale di Clairault , si tratta di equazioni che danno una soluzione particolare, inviluppo di tutte le soluzioni generali (non è esattamente quello che hai scritto tu... :-)))).
Dunque la condizione di continuità di Lipschitz è condizione necessaria perche un problema ai valori iniziali abbia esattamente una soluzione (teorema di Picard Lindelof).
Se c'è più di una soluzione evidentemente la condizione di Lipschitz non vale.
Confermo la tua tesi...
Ciao.